HDU3988(大数分解的应用)

 

HDU3988(大数分解的应用)

分类： 数论 2013-07-31 19:31  132人阅读  评论(0)  收藏  举报

题目：Harry Potter and the Hide Story

题意：给两个数n和k，找一个最大的i使得k^i能整除n!。这里的n与k都很大，10^18

思路的确还算简单，直接对K素因子分解，然后对于每一个素因子，找出在n!中的个数，然后对应相除，找最小的即可。

只是这里注意一点，就是n！中素因子p的个数一定不会超过LL，这个可以由等比公式求和证明，然后直接素因子分解解决。

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1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. #include <string.h>  
4. #include <algorithm>  
5. #include <iostream>  
6.   
7. using namespace std;  
8. typedef unsigned long long LL;  
9.   
10. const int Times=10;  
11. const int N=550;  
12. const LL INF=9223372036854775807ULL;  
13.   
14. LL ct,cnt;  
15. LL fac[N],num[N];  
16.   
17. LL gcd(LL a,LL b)  
18. {  
19.     return b? gcd(b,a%b):a;  
20. }  
21.   
22. LL multi(LL a,LL b,LL m)  
23. {  
24.     LL ans=0;  
25.     while(b)  
26.     {  
27.         if(b&1)  
28.         {  
29.             ans=(ans+a)%m;  
30.             b--;  
31.         }  
32.         b>>=1;  
33.         a=(a+a)%m;  
34.     }  
35.     return ans;  
36. }  
37.   
38. LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)  
39. {  
40.     LL ans=1;  
41.     a%=m;  
42.     while(b)  
43.     {  
44.         if(b&1)  
45.         {  
46.             ans=multi(ans,a,m);  
47.             b--;  
48.         }  
49.         b>>=1;  
50.         a=multi(a,a,m);  
51.     }  
52.     return ans;  
53. }  
54.   
55. bool Miller_Rabin(LL n)  
56. {  
57.     if(n==2) return true;  
58.     if(n<2||!(n&1)) return false;  
59.     LL a,m=n-1,x,y;  
60.     int k=0;  
61.     while((m&1)==0)  
62.     {  
63.         k++;  
64.         m>>=1;  
65.     }  
66.     for(int i=0; i<Times; i++)  
67.     {  
68.         a=rand()%(n-1)+1;  
69.         x=quick_mod(a,m,n);  
70.         for(int j=0; j<k; j++)  
71.         {  
72.             y=multi(x,x,n);  
73.             if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;  
74.             x=y;  
75.         }  
76.         if(y!=1) return false;  
77.     }  
78.     return true;  
79. }  
80.   
81. LL Pollard_rho(LL n,LL c)  
82. {  
83.     LL x,y,d,i=1,k=2;  
84.     y=x=rand()%(n-1)+1;  
85.     while(true)  
86.     {  
87.         i++;  
88.         x=(multi(x,x,n)+c)%n;  
89.         d=gcd((y-x+n)%n,n);  
90.         if(1<d&&d<n) return d;  
91.         if(y==x) return n;  
92.         if(i==k)  
93.         {  
94.             y=x;  
95.             k<<=1;  
96.         }  
97.     }  
98. }  
99.   
100. void find(LL n,int c)  
101. {  
102.     if(n==1) return;  
103.     if(Miller_Rabin(n))  
104.     {  
105.         fac[ct++]=n;  
106.         return ;  
107.     }  
108.     LL p=n;  
109.     LL k=c;  
110.     while(p>=n) p=Pollard_rho(p,c--);  
111.     find(p,k);  
112.     find(n/p,k);  
113. }  
114.   
115. LL getNum(LL p,LL n)  
116. {  
117.     LL ans=0;  
118.     while(n)  
119.     {  
120.         ans+=n/p;  
121.         n/=p;  
122.     }  
123.     return ans;  
124. }  
125.   
126. int main()  
127. {  
128.     int t,tt=1;  
129.     LL n,kk,minx;  
130.     scanf("%d",&t);  
131.     while(t--)  
132.     {  
133.         scanf("%I64u%I64u",&n,&kk);  
134.         printf("Case %d: ",tt++);  
135.         if(kk==1)  
136.         {  
137.             puts("inf");  
138.             continue;  
139.         }  
140.         ct=0;  
141.         find(kk,120);  
142.         sort(fac,fac+ct);  
143.         num[0]=1;  
144.         int k=1;  
145.         for(int i=1; i<ct; i++)  
146.         {  
147.             if(fac[i]==fac[i-1])  
148.                 ++num[k-1];  
149.             else  
150.             {  
151.                 num[k]=1;  
152.                 fac[k++]=fac[i];  
153.             }  
154.         }  
155.         cnt=k;  
156.         minx=INF;  
157.         for(int i=0; i<cnt; i++)  
158.         {  
159.             LL tmp=getNum(fac[i],n)/num[i];  
160.             if(minx>tmp) minx=tmp;  
161.         }  
162.         if(minx==INF)  puts("inf");  
163.         else           cout<<minx<<endl;  
164.     }  
165.     return 0;  
166. }