最小割集Stoer-Wagner算法

最新推荐文章于 2021-11-18 20:05:22 发布

pi9nc

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本文详细介绍了Stoer-Wagner算法，一种用于求解无向图全局最小割的有效方法。通过逐步合并节点，算法能在多项式时间内找到最小割。文章提供了算法流程、关键概念解释及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【ZZ】最小割集Stoer-Wagner算法

一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；最小割集当然就权和最小的割集。

可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,确定一个源点

2.枚举汇点

3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min

4.转到2直到枚举完毕

5.min即为所求输出min

不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)

所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。

－－－－－－－－－

prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。

求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：

1.min=MAXINT，固定一个顶点P

2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边

3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min

4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）

5.转到2，合并N-1次后结束

6.min即为所求，输出min

prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)

如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)

这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

另一篇论文：

最小割 Stoer-Wagner 算法
Etrnls 2007-4-15
Stoer-Wagner 算法用来求无向图 G=(V, E)的全局最小割。

算法基于这样一个定理：对于任意s, t   V ∈ ，全局最小割或者等于原图的s-t 最小割，或者等于将原图进行 Contract(s,
t)操作所得的图的全局最小割。

算法框架：
1. 设当前找到的最小割MinCut 为+∞
2. 在 G中求出任意 s-t 最小割 c，MinCut = min(MinCut, c)
3. 对 G作 Contract(s, t)操作，得到 G'=(V', E')，若|V'| > 1，则G=G'并转 2，否则MinCut 为原图的全局最
小割

Contract 操作定义：
若不存在边(p, q)，则定义边(p, q)权值w(p, q) = 0
Contract(a, b): 删掉点 a, b 及边(a, b)，加入新节点 c，对于任意 v V ∈ ，w(v, c) = w(c, v) = w(a, v) + w(b,
v)

求 G=(V, E)中任意 s-t 最小割的算法：
定义w(A, x) = ∑w(v[i], x)，v[i] A ∈
定义 Ax 为在x 前加入 A 的所有点的集合（不包括 x）
1. 令集合 A={a}，a为 V中任意点
2. 选取 V - A中的 w(A, x)最大的点 x加入集合 A
3. 若|A|=|V|，结束
令倒数第二个加入 A的点为 s，最后一个加入 A的点为 t，则s-t 最小割为 w(At, t)

再加一份模板

pku2914 Minimum Cut

 
         /*pku 2914 */
        
         #include<stdio.h>
        
         #include<string.h>
        
         #define NN 504
        
         #define INF 1 << 30
        
         int 
         vis[NN];
        
         int 
         wet[NN];
        
         int 
         combine[NN];
        
         int 
         map[NN][NN];
        
         int 
         S, T, minCut, N;
        
         void 
         Search(){
        
         int 
         i, j, Max, tmp;
        
         memset
         (vis, 0, 
         sizeof
         (vis));
        
         memset
         (wet, 0, 
         sizeof
         (wet));
        
         S = T = -1;
        
         for 
         (i = 0; i < N; i++){
        
         Max = -INF;
        
         for 
         (j = 0; j < N; j++){
        
         if 
         (!combine[j] && !vis[j] && wet[j] > Max){
        
         tmp = j;
        
         Max = wet[j];
        
         }
        
         }
        
         if 
         (T == tmp) 
         return
         ;
        
         S = T; T = tmp;
        
         minCut = Max;
        
         vis[tmp] = 1;
        
         for 
         (j = 0; j < N; j++){
        
         if 
         (!combine[j] && !vis[j]){
        
         wet[j] += map[tmp][j];
        
         }
        
         }
        
         }
        
         }
        
         int 
         Stoer_Wagner(){
        
         int 
         i, j;
        
         memset
         (combine, 0, 
         sizeof
         (combine));
        
         int 
         ans = INF;
        
         for 
         (i = 0; i < N - 1; i++){
        
         Search();
        
         if 
         (minCut < ans) ans = minCut;
        
         if 
         (ans == 0) 
         return 
         0;
        
         combine[T] = 1;
        
         for 
         (j = 0; j < N; j++){
        
         if 
         (!combine[j]){
        
         map[S][j] += map[T][j];
        
         map[j][S] += map[j][T];
        
         }
        
         }
        
         }
        
         return 
         ans;
        
         }
        
         int 
         main()
        
         {
        
         int 
         a, b, c, M;
        
         while
         (
         scanf
         (
         "%d%d"
         , &N, &M) != EOF){
        
         memset
         (map, 0, 
         sizeof
         (map));
        
         while
         (M--){
        
         scanf
         (
         "%d%d%d"
         , &a, &b, &c);
        
         map[a][b] += c;
        
         map[b][a] += c;
        
         }
        
         printf
         (
         "%d\n"
         , Stoer_Wagner());
        
         }
        
         return 
         0;
        
         }