二分图的最大匹配（匈牙利算法）

（算法）二分图的最大匹配（匈牙利算法）

分类： 算法整理 2011-07-13 10:25  293人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法

  先说下二分图的概念吧：二分图是指图可以分成两个点集X和Y，那么任意一条边两个端点分属于不同的点集，也就是说任意一条边的的一个端点在X中，另外一个端点在Y中。并且同一个点集中的任意点之间是没有边相连的，满足这样的性质的图就是二分图。

       匹配是指：在给定的一个二分图G中的一个边的子集构成的集合M，M中的任意两条边都没有公共的顶点，那么M就称为一个匹配。那么匹配中含有边数最多的匹配就是最大匹配。

       下面来说说匈牙利算法是如何求解二分图的最大匹配的吧。

       匈牙利算法是通过不断的找增广路径来扩大匹配集中匹配的边数，我们对左边点集的每一个点找增广路径，直到找不到了增广路径，那么这个时候的匹配就是最大匹配。

       匈牙利算法的基本思想就是这样，如果想要具体了解，自己画个图理解下就行了，很容易理解的。下面我们来说说匈牙利算法是如何实现的吧。

       首先我们需要构建一个二分图，这个随你。之后为了找增广路径，我们需要一个match[i]表示右边点集的i的匹配的左边的点，如果是-1，那么表示还没有找到匹配的点；这个数组在我们找增广路径的时候非常重要。

        其次我们需要一个vis数组，用来表示在每一次找增广路径的时候左边的点是否被访问过，这个是为了防止重复找同一个点而出现错误。

        我们再找增广路径的时候，如果一个点的match[i]==-1，那么我们就找到了一条增广路径，返回1；否则我们继续找，对match[i]进行dfs，如果最终都没有找到增广路径，那么就只好返回零表示没有找到增广路径。

       基于这个思想，我把在POJ上的2239那道题的代码贴上来，匈牙利算法基本都是差不多的，有需要的可以拿过去参考一下。呵呵——

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1. #include <stdio.h>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdlib.h>  
4. #define LMAX 310  
5. #define RMAX 90  
6. int edge[LMAX][RMAX];  
7. int vis[RMAX],match[RMAX];  
8. int RN;//左边的顶点的个数，右边顶点的个数  
9.   
10.   
11. int dfs(int i)  
12. {  
13.     int j;  
14.     for(j=1;j<=RN;j++)  
15.     {  
16.         if(edge[i][j]&&vis[j]==0)  
17.         {  
18.             vis[j]=1;  
19.             if(match[j]==-1)  
20.             {  
21.                 match[j]=i;  
22.                 return 1;  
23.             }  
24.             else  
25.             {  
26.                 if(dfs(match[j]))  
27.                 {  
28.                     match[j]=i;  
29.                     return 1;  
30.                 }  
31.             }  
32.         }  
33.     }  
34.     return 0;  
35. }  
36.   
37. int solve(int LN)  
38. {  
39.     memset(match,-1,sizeof(match));  
40.     int i,sum=0;  
41.     for(i=1;i<=LN;i++)  
42.     {  
43.             memset(vis,0,sizeof(vis));  
44.             if(dfs(i))  
45.                 sum++;  
46.     }  
47.     return sum;  
48. }  
49.   
50. int main()  
51. {  
52.     int n,t;  
53.     int i;  
54.     int a,b;  
55.     RN=7*12;  
56. //    freopen("data.txt","r",stdin);  
57.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
58.     {  
59.         memset(edge,0,sizeof(edge));  
60.         for(i=1;i<=n;i++)  
61.         {  
62.             scanf("%d",&t);  
63.             while(t--)  
64.             {  
65.                 scanf("%d %d",&a,&b);  
66.                 edge[i][(a-1)*12+b]=1;  
67.             }  
68.         }  
69.   
70.         printf("%d\n",solve(n));  
71.   
72.     }  
73.     return 0;  
74. }