多元函数的微分中值定理的推广（原创）

最新推荐文章于 2024-01-31 23:25:42 发布

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#多元函数微分中值定理

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这篇博客探讨了多元函数微分中值定理的推广，通过定义k=f(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)−g(x)，并构造函数h(x)=f(x)−kg(x)，证明了在凸区域D内，存在θ(x,Δx)∈(0,1)，使得f(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)−g(x)等于f'(x+θΔx)Δx/g'(x+θΔx)Δx。" 107475021,9314510,微信小程序入门：准备工作与创建项目,"['小程序开发', '微信小程序', '腾讯云开发', '新手入门', '项目构建']

多元函数微分中值定理的推广：

设 $n (n \in \mathbb N, n \ge 1 )$ 元函数 $f(\mathbf{x}), g(\mathbf{x})$ 在凸区域 $D \subseteq \mathbb R^n$ 上可微，则对于 $D$ 内的任意两点
$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \mathbf{x} + \Delta \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 + \Delta x_1 \\ \vdots \\ x_n + \Delta x_n \end{pmatrix} ,$ 若 $g(\mathbf{x}) \neq g(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}),$ 则 $\exists \theta(\mathbf{x}, \Delta \mathbf{x}) \in (0, 1),$ 使得

f ( x + Δ x ) - f ( x ) g ( x + Δ x ) - g ( x ) = f ' ( x + θ Δ x ) Δ x g ' ( x + θ Δ x ) Δ x

$\frac { f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{x}) } { g(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - g(\mathbf{x}) } = \frac { f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x}} { g'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} }$
其中若

g′(x+θΔx)Δx=0 $g'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} = 0$ ，则

f′(x+θΔx)Δx=0 $f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} = 0$ 。

证明：

令 $k = \frac { f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{x}) } { g(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - g(\mathbf{x}) }, h(\mathbf{x} ) = f(\mathbf{x} ) - kg(\mathbf{x} ),$ 则 $h(\mathbf{x})$ 在 $D$ 上可微，且
$\operatorname {d} h(\mathbf{x}) = \operatorname {d} f(\mathbf{x} ) -k \operatorname {d} g(\mathbf{x} ) = [f'(\mathbf{x}) -kg'(\mathbf{x}) ] \operatorname {d} \mathbf{x} \Rightarrow h'(\mathbf{x}) = f'(\mathbf{x}) -kg'(\mathbf{x})$
由微分中值定理， $\exists \theta(\mathbf{x}, \Delta \mathbf{x}) \in (0, 1),$ 使得：
$h(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - h(\mathbf{x}) = h'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x}$
$\Rightarrow [f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x} ) - kg(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x} )] - [f(\mathbf{x} ) - kg(\mathbf{x} )] = [ f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) -kg'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x})] \Delta \mathbf{x}$
$\Rightarrow [f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x} ) - f(\mathbf{x} )] -k [g(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x} ) - g(\mathbf{x} )] = f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} -kg'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x}$
$\Rightarrow 0 = f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} -kg'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x}$
$\Rightarrow \frac { f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{x}) } { g(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - g(\mathbf{x}) } = k = \frac { f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x}} { g'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} },$
其中若 $g'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} = 0$ ，则 $f'(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x}) \Delta \mathbf{x} = 0$