Non Transitive Dice 之我探

NonTransitive Dice之我探

前些天在网上突然看到NonTransitiveDice，也就是非传递性骰子。它们的面值不是规则的１～６，而是可以重复，当然其面值也不只到６而已。其特性是非传递的，也即若Ａ胜Ｂ，Ｂ胜Ｃ，则Ａ不一定胜Ｃ，可以做到Ｃ胜Ａ。比如下面的三个骰子：

A　:2, 2, 4, 4, 9, 9

B　:1, 1, 6, 6, 8, 8

C　:3, 3, 5, 5, 7, 7

通过概率的计算，可以证明，Ａ胜Ｂ的概率为20/36，Ｂ胜Ｃ的概率和Ｃ胜Ａ的概率都是20/36。

我希望通过程序来寻找这种非传递的骰子。还是使用python比较方便，但我不使用穷举法，因为当我需要寻找多个骰子的时候，穷举法的解空间太大，所以我还是进行一定次数的随机尝试吧，当然两次运行程序得到的结果可能不同。

１

首先，我需要一个函数来生成骰子的各个面，面值是从已知的数值范围内随机选择的，所以先定义面值取值列表：

#!/usr/bin/python

#-*- coding:utf-8 -*-

#FileName : dice.py

importrandom

'''

计算非传递性骰子的胜率

'''

DiceFace= range(1, 7)

这里设定面值为1~6.随机生成面值的函数(v1.0)如下：

# GenerateDie v1.0

defGenerateDie(facenum):

'''生成骰子的各个面值，共facenum面'''

d= []

i= 0

whilei < facenum:

v= random.choice(DiceFace)

d.append(v)

i+= 1

d.sort()

returnd

从diceFace中随机选择facenum个值来生成一个骰子的面值。

２

其次，我还需要一个函数来计算骰子Ａ对骰子Ｂ的胜率，但为了获得更全面的信息，该函数还应该返回负率及和率。函数如下：

# countLtEqGt v1.0

defcountLtEqGt(num, L):

'''计算num比L中小、等、大的个数'''

cl= 0

ce= 0

cg= 0

fort in L:

ifnum < t:

cl+= 1

elifnum == t:

ce+= 1

else:

cg+= 1

return(cl, ce, cg)

# pAB v1.0

defpAB(A, B):

'''计算骰子A对B胜率，和率及负率'''

facenum= len(A)

pF= 0

pE= 0

pW= 0

fora in A:

(cl,ce, cg) = countLtEqGt(a, B)

pF+= cl

pE+= ce

pW+= cg

return(pF, pE, pW)

由于骰子各个面出现的概率相同，所以统计面值大小的个数，就相当于统计概率。有了函数pAB，就可以掌握任意两个骰子之间的战斗情况了。

３

最后，在主函数里，尝试一定的次数，生成３个骰子，使得骰子Ａ胜Ｂ，Ｂ胜Ｃ，Ｃ胜Ａ，并打印各个骰子的面值以及胜率。函数如下：

#主函数 v1.0

if__name__ == '__main__':

N= 6 # 骰子面数

T= N*N/2 # 胜数之半

i= 0

n= 0

whilei < 100000:

dieA= GenerateDie(N)

dieB= GenerateDie(N)

dieC= GenerateDie(N)

(pFab,pEab, pWab) = pAB(dieA, dieB)

(pFbc,pEbc, pWbc) = pAB(dieB, dieC)

(pFca,pEca, pWca) = pAB(dieC, dieA)

cond1= (pWab > T) and (pWbc > T) and (pWca > T)

ifcond1:

n+= 1

print'dieA :', dieA

print'dieB :', dieB

print'dieC :', dieC

print'num %d : pWab = %d, pWbc = %d, pWca = %d' % (n, pWab, pWbc, pWca)

print''

i+= 1

print'find %d pairs' % n

在此寻找６面骰子，尝试100000次，先生成３个骰子，然后计算其相互之间的胜率，如果相互胜率都过半，则满足条件，成为非传递骰子，将其打印输出，并统计总共找到多少对骰子。

前面已经确定面值空间为１～６，运行该程序。等待...居然没有找到这样的骰子！即使把尝试次数增加１０倍也无法找到。

把面值空间增加２倍，即取

DiceFace= range(1, 13)

再运行，找出了５对：

dieA: [1, 7, 9, 10, 10, 11]

dieB: [6, 6, 7, 7, 7, 12]

dieC: [1, 2, 4, 11, 12, 12]

num1 : pWab = 22, pWbc = 19, pWca = 19

dieA: [2, 3, 4, 5, 6, 12]

dieB: [1, 1, 3, 10, 11, 11]