Large scale optimization

最新推荐文章于 2025-02-05 22:27:17 发布

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最新推荐文章于 2025-02-05 22:27:17 发布 · 1.5k 阅读

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#线性规划 #大数据优化 #下料问题 #延迟列生成

本文探讨了在大规模线性规划问题中，如何处理变量和约束条件数量巨大的情况。介绍了延迟列生成方法，特别是针对检验数最小化的优化问题（6.1），并讨论了该问题在下料问题（Cutting Stock Problem）中的应用。文章还介绍了延迟列生成的一个变种，涉及保留列的策略，以及不同变体的选择和终止条件。

背景：在之前遇见的线性规划问题中，给出的约束条件和变量虽然比较ugly, 但都是在可以接受的，起码我们一眼能看完，但是实际运用中，给的变量和约束条件的数量往往是巨大的。如果碰到的问题里变量和约束条件数量都很大的话，两手一摊只能放弃，如果只是变量或者是约束条件一方很大的话，我们可以想办法解决。

6.1Delayed cloumn generation

考虑到标准形问题
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ min c’x
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ s.t. Ax = B ,x $\ge$ 0
其中变量x $\in$ $\Re^n$ ,限额系数b $\in$ $\Re^m$ ，mxn矩阵A通常是行线性无关。假设列的数量十分巨大，矩阵A无法生成且储存。从过往解决大问题的经验中推断，有些没用到的列并不需要生成。这和修正后的单纯型法（Revised Simplex Method）类似，在每次迭代中，只需要当前的列向量和将要进基的列向量。在这里有一个难点需要提出来，我们需要一个方法找到负检验数 $\overline{c_i}$ 相对应的变量 $x_i$ ，而不需要找到所有的列。有时候，这可以被这个问题转化为一下问题