15、几何代数中点、线、面的表示与运动分析

几何代数中点、线、面的表示与运动分析

1. 用电机代数表示点、线、面

在 4D 空间中，我们可以使用电机代数 (G_{3,0,1}^+) 来对几何元素进行建模。该代数使用二向量基在 4D 中张成线空间。
- 点的表示 ：将 3D 点嵌入超平面 (X_4 = 1)，点 (X \in G_{3,0,1}^+) 的方程为：
[
\begin{align }
X &= 1 + x_1e_4e_1 + x_2e_4e_2 + x_3e_4e_3\
&= 1 + I (x_1e_2e_3 + x_2e_3e_1 + x_3e_1e_2)\
&= 1 + Ix
\end{align }
]
也可写成 (X = (1, 0) + I (0, x))，其中实部为标量 1，对偶部分为 3D 二向量。
- 线的表示 ：在退化几何代数 (G_{3,0,1}^+) 中，线方程 (L = n + I m)，其中 (n) 和 (m) 可通过线上的两个二向量点 (x_1) 和 (x_2) 计算：
[
\begin{align }
n &= (x_2 - x_1) = (x_{21} - x_{11})e_2e_3 + (x_{22} - x_{12})e_3e_1 + (x_{23} - x_{13})e_1e_2\
&= L_{n1}e_2e_3 + L_{n2}e_3e_1 + L_{n3}e_1e_2\
m &= x_1 \times x_2\