13、期权定价与主成分分析：原理、方法与应用

期权定价与主成分分析：原理、方法与应用

1. 二项离散模型的多步方法

在期权定价中，二项离散模型的多步方法允许在多个步骤中执行操作。通过考虑不同时间段内的“上涨”和“下跌”步骤，我们可以构建一个二项树。期权价值的表示会标注在树上，例如，经过两次下跌后期权价值为 $S_{dd}$，两次上涨则表示为 $S_{uu}$。

如果没有股息，预期值保持不变。但在实际情况中，当标的资产为股票时，忽略股息并不现实。假设 $S_u = uS$ 且 $S_d = dS$（其中 $u > 1 > d$ 分别为使原始价格上涨和下跌的因子），那么二项树会减少分支，因为 $S_{ud} = S_{du}$。

将区间 $[0, T]$ 划分为 $n$ 个长度为 $\Delta T$ 的子区间，即 $T = n\Delta T$。此时，可以用无风险利率 $r$ 替换回报率 $R$，使得因子 $\frac{1}{1 + R}$ 变为 $e^{-r\Delta t}$。根据无套利条件 $S_u > S(1 + R) > S_d$ 可推出 $u > Se^{r\Delta t} > d$。并且，概率 $p = \frac{Se^{r\Delta t} - S_d}{S_u - S_d} = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}$ 不依赖于资产价格，它是资产的一个内在参数。

1.1 欧洲看涨期权示例

假设执行价格 $K = 105$，$u = 1$，$d = 0.9$，年利率 $r = 7\%$，$T$ 为半年，$\Delta T = \frac{1}{2}$，标的资产的初始价格 $S = 100$。此时二项树如下