41、标准假设下可验证随机函数与可编程向量哈希函数解析

标准假设下可验证随机函数与可编程向量哈希函数解析

1. 弱VRF及避免Q型假设的其他方法

弱可验证随机函数（VRF）的概念由Brakerski等人提出，同时还给出了简单高效的构造方法，并证明了无法（以黑盒方式）从单向置换构造VRF或弱VRF。此外，还有一些相关的原语被引入，如可模拟VRF和受限VRF。

有人会问，Chase和Meiklejohn提出的技术能否从常量大小假设出发，产生VRF的替代构造。该技术基于Waters的双系统方法，需要对群元素进行随机化处理。然而，这种随机化使得构造满足唯一可证明性要求的VRF变得困难。因此，Chase和Meiklejohn仅证明了Dodis和Yampolski的VRF在静态假设下构成安全的伪随机函数，而非安全的VRF。

目前存在一个有趣的开放问题，即如何从标准假设出发构造更高效的VRF。特别是，不清楚本文中的构造是否也能在非对称双线性群的SXDH假设下实例化，若能实现，可能会产生矩阵更小、证明更短的构造。

2. 认证双线性群生成器

为了正式证明给定的可验证随机函数满足唯一性，我们将认证陷门置换的概念扩展到认证双线性群生成器。之前关于可验证随机函数的工作在这方面较为非正式，例如仅要求能高效测试群成员资格，且每个群元素有唯一表示。

• 双线性群生成器定义 ：双线性群生成器是一个概率多项式时间算法GrpGen，它以安全参数k（一元形式）为输入，输出$\Pi = (p, G, G_T, \circ, \circ_T, e, \varphi(1)) \stackrel{\$}{\leftarrow} GrpGen(1^k)$，需满足以