21、计算最优组合的复杂性：理论与实践探索

计算最优组合的复杂性：理论与实践探索

1. 研究背景与问题提出

在差分隐私领域，寻找更一般的异构情况下的最优组合行为是一个重要问题。Kairouz、Oh和Viswanath为异构组合提供了一个上界，该上界推广了均匀组合中定理1.3所发现的 $O(\sqrt{k \ln(1/\delta’)})$ 退化情况，但未说明其与最优值的接近程度。

2. 研究成果

• 定理1.5（最优异构组合） ：对于所有 $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_k \geq 0$ 和 $\delta_1, \ldots, \delta_k, \delta_g \in [0, 1)$，$OptComp((\epsilon_1, \delta_1), (\epsilon_2, \delta_2), \ldots, (\epsilon_k, \delta_k), \delta_g)$ 等于满足以下条件的最小 $\epsilon_g$ 值：
  [
  \frac{1}{\prod_{i = 1}^{k} (1 + e^{\epsilon_i})} \sum_{S \subseteq {1, \ldots, k}} \max\left{e^{\sum_{i \in S} \epsilon_i} - e^{\epsilon_g} \cdot e^{\sum_{i \notin S} \epsilon_i}, 0\right} \leq 1 - \frac{1 - \delta_g}{\prod_{i = 1}^{k} (1 - \delta_i)}
  ]
  该定理精确刻画了任意一组差分隐私算法的最优组合行为，并且表明