37、耦合振荡系统的特性与分析

耦合振荡系统的特性与分析

1. 耦合振荡系统概述

耦合谐波振荡器系统具有独特的性质，对其分析可采用拉格朗日方法或牛顿第二定律。力学中最简单的耦合系统是由弹簧连接的两个质量块，双摆也是常见的耦合机械振荡器示例，展现出丰富多样的有趣行为。

这类简单振荡系统存在正常振荡模式，即系统各部分以相同频率作正弦运动的模式，其频率被称为系统的自然振荡频率。系统的任何运动都能表示为这些正常模式的线性组合。对双质量系统的讨论将引导我们对线性耦合谐波系统进行更一般的描述，其运动方程可写成矩阵形式。借助线性代数的标准技术求解耦合振荡的运动方程，能得到矩阵的特征值和特征向量，它们与系统的正常模式密切相关。

2. 双质量三弹簧系统的耦合振荡

2.1 运动方程与数值解

考虑两个质量块 (m_1) 和 (m_2) 通过三个弹簧（弹簧常数分别为 (k_1)、(k_2) 和 (k_3)）连接到两个固定壁的系统。设 (x_1(t)) 和 (x_2(t)) 分别为两个质量块相对于各自平衡点的水平位移。

根据牛顿第二定律 (F = ma)，可得运动方程：
[
\begin{cases}
m_1\ddot{x}_1 = -k_1x_1 - k_2(x_1 - x_2) \
m_2\ddot{x}_2 = -k_2(x_2 - x_1) - k_3x_2
\end{cases}
]

也可从拉格朗日方法得到相同方程。系统的拉格朗日量为：
[
L = T - V_{Total} = \frac{1}{2}m_1\dot{x}_1^2 + \frac{1}{2}m_