【算法学习】RMQST算法入门

RMQ

RMQ问题是区间最值问题(Range Maximum / Minimum Query)，即给出一个数组$A_1 \dots A_n$，给出一个询问区间$l,r$，求出$[A_l,A_r]$的区间最值。
最暴力的做法肯定是循环，这样显然不够优秀，求解区间最值的问题，可以借助线段树。在询问只是询问时复杂度多一个log。对于没有修改操作的区间最值问题，ST的查询可以做到O(1)，显然是一个更优秀的算法。

ST

其主要思想是利用dp来进行计算，计算方法和线段树的区间管理有些类似。
我们知道线段树求区间最值的思路，求其左区间的区间最值和右区间的区间最值，然后将答案进行合并即可。
然而此处利用dp，也求出类似数组，方面我们求解答案。

首先定义状态
$dp[i][j]$ 表示从i开始，后面$2^j$个元素(包括i位置自身)中的最值

然后是初始状态
$dp[i][0] = a[i]$

状态转移方程
$dp[i][j] = max(dp[i][ j >> 1], dp[i + (j>>1)][j >> 1]$ (也可以求解最小值)
可见思路是，在前半部分的区间最值和后半部分的区间最值中去最大(或最小的)。

通过如下的代码可以预处理dp数组

void getRMQ() {
    rep(i, 0, n - 1) dp[i][0] = a[i];
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j) {
        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; ++i) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1) )][j - 1]);
        }
    }
}

注意$i$和$j$的循环顺序，不可以颠倒，原因也很简单。首先需要对数组中每个i位置，求出其后面长度为 $2^j$ 的区间内最值。
如果此处颠倒了，求解前面的区间时，后面的区间还没有求解出来，这是不可以的。

对于询问就很简单了，直接用一步转移方程，求出区间最值就好了。

int RMQ(int l , int r) {
    if (l > r) return 0;
    int k = 0;
    while (1 << (k + 1) <= r - l + 1) k++;
    return max(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}

代码中的k求解的是，询问的左端点$l$最长可拓展到的位置，通过这样的转换，询问的区间会不会超出原本的$r$呢？
答案是不会的，因为另外区间的询问是从右端点开始减的，所以不会超出。

注意：

1. 空间要开数据范围的log2n + 1倍
2. 代码下标均为从0开始
3. 预处理O(nlogn)，询问O(1)
4. 主要思想其实和线段树有点类似