HDU.2588 GCD (欧拉函数)

HDU.2588 GCD (欧拉函数)

标签（空格分隔）： 数论

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题意分析

我怎么也看不出来这是一道欧拉函数的题目，也是参考了别人的解法写的。
题意就是计算1-N区间里有多少数和N的gcd是大于M的。

枚举所有可能情况计算肯定超时。
考虑这样一件事情，我们枚举$i∈[1，N],$令

$$N = a * b\\ i = a * d\\ $$
当$gcd(N,i) = a$，并且$a \geq M$的时候，此时的$i$明显是符合要求的，但是枚举$i$丝毫没有降低时间复杂度。于是我们可以想到枚举$a$。
由于$a，b$均是$N$的一个因子，不难得出$b = N / a$。当$a \geq M时$，根据刚才的条件$gcd(N,i) = a$，自然可以想到此时的$b,d$一定是互质的。使得上面式子成立的$d$有$φ(b)$个,换句话说，成立的$i$的个数就有$φ(b)$个。
这样一来从枚举$i$，转换成了枚举公因子$a$，降低了一定的时间复杂度，但是还是不够优秀。我们继续考虑：
手推算几组小数据，就不难发现，其实有重复的枚举，如对于$N = 10$，我们可能枚举到$a = 2,b = 5$同时又枚举到了$a = 5,b = 2$。
然而这两种情况其实可以在一次枚举中全部计算出来。所以枚举范围$a∈[1，sqrt(N)]$，当我们计算出其另一个因子，即$b = N /a$ 也大于$M$的时候，就可以将$φ(a)$的值累加进$ans$。

具体写法见代码。

代码总览

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getPhi(int x){
    int ret = x;
    for(int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if(x % i == 0){
            while(x % i== 0) x /= i;
           ret -= ret / i;
        }
    if(x > 1) ret -= ret / x;
    return ret;
}
int n,m,t;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int ans =0;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        for(int i = 1;i*i<=n;++i){
            if(n % i == 0){
                if(n/i >= m) ans+= getPhi(i);
                if(i>=m && i*i !=n ) ans+=getPhi(n/i);
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}