HDU 2588 GCD && GCD问题总结

题目：

 The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

   求满足题目要求的x个数。

算法：

   直接筛选会超时，根据题目给出的不等式特点GCD(x,N) >= M 可以知道满足题目要求的一定是N的因子而且必须大于等于M（想想为什么？解体关键）。所以，只要枚举N的大于等于M的因子就可以了。因为，在10^9内最多的因子数不超过30个。所以，总时间是O(30*loglogn)接近常数。

 

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1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm>  
3. #include <cstdio>  
4. #include <cstring>  
5. #include <cmath>  
6. using namespace std;  
7.   
8. typedef __int64 LL;  
9. const int MOD = 1000000007;  
10.   
11. int euler_phi(int n){  
12.     int k = (int)sqrt(n + 0.5);  
13.     int ans = n;  
14.     for(int i = 2;i <= k;++i) if(0 == n % i){  
15.         ans = ans / i * (i - 1);  
16.         while(0 == n % i) n /= i;  
17.     }  
18.   
19.     if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);  
20.     return ans;  
21. }  
22.   
23. LL getFact(int n,int m){  
24.     LL res = 0;  
25.     int k = sqrt(n + 0.5);  
26.     int tmp;  
27.   
28.     for(int i = 1;i <= k;++i){  
29.         if(0 == n % i){  
30.             tmp = n / i;  
31.             if(i >= m) res += euler_phi(n / i);  
32.             if(tmp >= m && i != tmp) res += euler_phi(n / tmp);  
33.         }  
34.     }  
35.     return res;  
36. }  
37.   
38.   
39.   
40. int main()  
41. {  
42.     int T,n,m;  
43.     scanf("%d",&T);  
44.     while(T--){  
45.         scanf("%d%d",&n,&m);  
46.   
47.         if(n == 1 && m == 1){  
48.             puts("1");  
49.             continue;  
50.         }  
51.   
52.         printf("%I64d\n",getFact(n,m));  
53.     }  
54.     return 0;  
55. }  

 

  

                                GCD(二)

题目：

   给你一个数N,使得在1~N之间能够找到x使得x满足gcd（ x ,  N  ） >= M，求解gcd(x,N)的和。

算法：

  由上题的知识可以知道，1...N的互质个数为欧拉函数值且其gcd只能是N的因子。所以，对于N = x * y。我们只要

求出x在y内的互质个数就好了，结果乘以x就是gcd = x的和了.

证明：

   SUM(gcd = x ) = 1*x + 2*x + 3*x ..... y*x

  所以，当gcd = x的时候只要求出y的欧拉函数值就好了。

 

而一个数的因子又可以在sqrt(N)内求出。