【思维+中位数】UVa 13000 Spreading the Wealth

Spreading the Wealth

题意

传硬币
每个人都有一定的初始硬币数量，每个人都可以往左传或者往右传，最终要求每个人的硬币数量一样多，问你最少需要传递多少硬币就可以实现每个人的硬币一样多。

我一开始的思路

大模拟？？没思路。

标程的思路

有m个
设每个人初始硬币数量为Ai
最后每个人的数量为M
设每个人得到的硬币数量为x(i+1);
每个人给出的硬币数量为xi;

//相当于每个人给了它编号之前的人，而得到了编号之后人的硬币
比如 1号给了 m 号硬币 给出了x1枚硬币；得到了 2 号的硬币 x2枚硬币
因为加入得到的硬币的数量为负数其实就相当于给出硬币，这里只是代替一下，其实不影响。

那么每个人的最终得到的硬币与其给出和收到硬币之间就可以列出一个方程，我们因此就可以列出m个方程
A1 - x1 + x2 = M
A2 - x2 + x3 = M
A3 - x3 + x4 = M
…..
Am - xm + x1 = M
这样子我们就可以操作了。
是否可以通过解方程组来解出x1 , x2 , x3…..的值最后全部相加然后直接得到转移数量呢，不可以，因为不难发现，最后一个方程组其实是用第一个未知数所表示的，实际上并不是有效的方程组，所以无法解出来。

那么我们尝试将其用x1表示出来，通过控制x1的值来让所有的数值最小。
我们移一下项数，让其全部用x1表示
x1 = x1
x2 = M - A1 + x1
x3 = M - A2 + x2(x2 又可以用x1表示)
……
然后我们令
Ai - M = Ci
那么原式就可以进一步化简为(C0 = 0)
x1 = x1 - C0
x2 = x1 - C1
x3 = x1 - C2
……
Xm = x1 - Cm-1
通过前面的式子我们其实不难发现Cm的规律
Cm = Cm-1 + Ai - M;
那么现在问题就很简单了，我们只需要确定一个x1，使得abs(x1) + abs(x2) + …. abs(xm) 最小即可。
如何确定x1呢？这里就可以转化成问题：如何使x1到每个Cm的举例最小，保证他们的abs求和最小。
答案无疑是Cm的中位数为xi的值即可
最后确定了x1的值，把每个xi算出来，最后相加就是他们交换硬币的总数量了。

AC代码

思路思考起来比较困难，但对于程序的编写要求并不困难。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 1000000 + 7
long long C[maxn];
long long num[maxn];
void solve(void)
{
    int n;
    long long m;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        long long sum = 0;
        for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        {
            scanf("%lld",&num[i]);
            sum+=num[i];
        }
        m = sum/n;
        C[0] = 0;
        for(int i = 1 ; i < n ; i++)
        {
            C[i] = C[i-1] + m - num[i];
        }
        sort(C,C+n);
        long long xm;
        if(n%2==1) xm = C[n/2+1];
        else xm = C[n/2];
        long long ans = 0;
        for(int i = 0 ; i < n ; i++ ) ans += abs(xm - C[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }

}

int main(void)
{
    solve();
    return 0;
}

所能学到的…

中位数到其两边的数的距离之和最小。