37、图论基础与相关矩阵性质

图论基础与相关矩阵性质

1. 图论简介

图论起源于欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解答。1847 年，基尔霍夫为研究电气网络提出了树的理论，这是图论在物理科学问题中的首次应用。此后，电气网络理论学家在图论的显著发展中发挥了重要作用。

2. 基本概念

• 图的定义 ：图 (G = (V, E)) 由有限的顶点集 (V = (v_1, v_2, \cdots, v_n)) 和有限的边集 (E = (e_1, e_2, \cdots, e_m)) 组成。若边与顶点的有序对相关联，则图为有向图；否则为无向图。
• 特殊边与顶点
  • 平行边 ：具有相同端点对的边。在有向图中，平行边还需方向相同。
  • 自环 ：端点相同的边。
  • 顶点度数 ：顶点 (v_i) 的度数 (d(v_i)) 是与之关联的边的数量。在有向图中，有入度 (d_{in}(v_i)) 和出度 (d_{out}(v_i)) 之分。
  • 特殊顶点 ：度数为 0 的顶点是孤立顶点，度数为 1 的顶点是悬挂顶点。
• 图的定理
  • 定理 1
    • 图 (G) 中顶点度数之和等于 (2m)，其中 (m)