32、图论基础与相关矩阵性质解析

图论基础与相关矩阵性质解析

1. 图论简介

图论起源于欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解答。1847 年，基尔霍夫为研究电气网络而发展了树的理论，这是图论在物理科学问题中的首次应用。此后，电气网络理论学家在图论的显著发展中发挥了重要作用。

2. 基本概念

2.1 图的定义与表示

图 (G = (V, E)) 由两个集合组成：有限的顶点集 (V = {v_1, v_2, \cdots, v_n}) 和有限的边集 (E = {e_1, e_2, \cdots, e_m})。每条边与一对顶点相关联。若边与顶点的有序对相关联，则 (G) 为有向图；否则为无向图。图可以用图形表示，顶点用点表示，边用连接对应点的线段表示。在有向图中，每条边有方向。

2.2 边的类型

• 平行边 ：具有相同端点对的边。在有向图中，平行边是连接相同顶点对且方向相同的边。
• 自环 ：端点不不同的边。

2.3 顶点的度数

• 度数 ：顶点 (v_i) 的度数 (d(v_i)) 是与该顶点关联的边的数量。在有向图中，入度 (d_{in}(v_i)) 是指向该顶点的边的数量，出度 (d_{out}(v_i)) 是从该顶点出发的边的数量。
• 特殊顶点 ：度数为 0 的顶点是孤立顶点，度数为 1 的顶点是悬挂顶点。自环在计算度数时计为 2。

2.4 相关定