38、图论中的矩阵与网络分析

图论中的矩阵与网络分析

在图论和电气网络分析领域，有许多重要的概念和定理，它们对于理解和解决相关问题起着关键作用。下面将详细介绍这些内容。

1. 割矩阵与回路矩阵

在一个具有 (n) 个顶点和 (m) 条边的连通有向图 (G) 中，割和回路是两个重要的概念。

1.1 割矩阵 (Q_c)

考虑图 (G) 中的一个割 (\langle V_a, -V_a \rangle)，它由所有连接 (V_a) 中的顶点和 (-V_a) 中的顶点的边组成。割可以被赋予从 (V_a) 到 (-V_a) 或从 (-V_a) 到 (V_a) 的方向。

割矩阵 (Q_c = [q_{ij}]) 有 (m) 列（每列对应一条边），每行对应一个割。元素 (q_{ij}) 的定义如下：
[
q_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{如果第 } j \text{ 条边在第 } i \text{ 个割中，且其方向与割的方向一致} \
-1, & \text{如果第 } j \text{ 条边在第 } i \text{ 个割中，且其方向与割的方向不一致} \
0, & \text{如果第 } j \text{ 条边不在第 } i \text{ 个割中}
\end{cases}
]
每一行的 (Q_c) 被称为割向量。

图 (G) 的生成树 (T) 的每个分支定义一个基本割集。对应于 (T) 定义的 (n - 1) 个基本割集的 (Q_c) 的子矩阵称为 (G) 相对于 (T) 的基本割集矩阵 (Q_f)。可以将 (Q