32、希尔伯特空间中的里茨基、框架与短时傅里叶变换

希尔伯特空间中的里茨基、框架与短时傅里叶变换

在数学和信号处理领域，希尔伯特空间中的里茨基、框架以及短时傅里叶变换是非常重要的概念。它们在信号表示、处理和分析中有着广泛的应用。下面我们将深入探讨这些概念的定义、性质以及它们之间的关系。

里茨基的性质与特点

里茨基（Riesz basis）在希尔伯特空间中是一组完备的向量集合，具有很强的线性独立性，也就是所谓的最小独立性（type 3 或 minimal）。它是一个有界基，并且其逆也是有界的。具体来说，里茨基具有以下重要性质：
1. 正交规范性 ：当里茨基中的参数 A = B = 1 时，条件 $\sum_{n} |c_{n}|^{2} = |\sum_{n} c_{n} f_{n}|^{2}$ 成立，此时的里茨基就是一个标准正交基。这表明在大多数应用中，里茨基和标准正交基具有相似的优良性质。
2. 与标准正交基的关系 ：任何里茨基都可以通过一个有界线性变换及其有界逆从标准正交基得到。
3. 向量分离性 ：任意两个向量之间的距离至少为 $\sqrt{2A}$，即 $|f_{n} - f_{m}|^{2} \geq 2A$。
4. 向量范数有界性 ：每个基向量的范数是有界的，满足 $|f_{n}| \leq \sqrt{B}$。
5. 数值稳定性 ：在表达式 $x = \sum_{n} c_{n} f_{n}$ 中，从系数 $c_{n}$ 计算向量 $x$ 以及从向量 $x$ 计算系数 $c_{n}$ 的过程在数值上是