27、小波变换全面解析

小波变换全面解析

1. 基本概念引入

1.1 L2 空间、基函数与正交基

在信号处理中，我们常常关注一类特殊的函数，即 L2 函数，也就是平方可积函数。对于函数 (x(t))，若 (\int |x(t)|^2 dt) 存在且值有限，那么它就属于 L2 函数。这类函数的范数，即 L2 范数，记为 (|x(t)|_2)，定义为 (|x(t)|_2 = (\int |x(t)|^2 dt)^{1/2})。

L2 函数构成了一个（赋范）线性向量空间，意味着任意有限个 L2 函数的线性组合仍然是 L2 函数。特别地，存在一组可数的基函数 ({g_n(t)})，使得任意 L2 函数 (x(t)) 都可以表示为 (x(t) = \sum_{n} \alpha_n g_n(t))，其中 ({\alpha_n}) 是唯一确定的系数。这些 (g_n(t)) 就是基函数。

L2 空间还具有正交基的性质。对于正交基，基函数满足 (\langle g_k(t), g_m(t) \rangle = \delta_{k,m})，其中 (\langle f(t), g(t) \rangle = \Delta \int f(t)g^*(t)dt) 表示 (f(t)) 和 (g(t)) 的内积。对于正交基，展开式 (x(t) = \sum_{n} \alpha_n g_n(t)) 中的系数 (\alpha_n) 可以通过简单的关系 (\alpha_n = \langle x(t), g_n(t) \rangle) 计算得到。

以下是两个正交基的例子：
- 傅里叶级数（FS）展开 ：对于时间受限信号（(0 \leq t \le