16、傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

1. 连续时间采样模型的傅里叶频谱

在通信系统中，不同的调制格式常用于将频谱能量转移到适合应用的频段。连续时间（CT）采样模型 $s_a(t)$ 本身就是一个 CT 信号，因此可以应用 CT 傅里叶变换来得到采样信号频谱的表达式。

CT 傅里叶变换具有多种性质，如下表所示：
| 名称 | 定义 |
| — | — |
| 叠加性 | $\mathcal{F}{af_1(t) + bf_2(t)} = aF_1(j\omega) + bF_2(j\omega)$ |
| 若 $f(t)$ 为偶函数 | $F(j\omega) = 2\int_{0}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)dt$ |
| 若 $f(t)$ 为奇函数 | $F(j\omega) = j2\int_{0}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)dt$ |
| 时间取负 | $\mathcal{F}{f(-t)} = F^*(-j\omega)$ |
| 时间尺度变换 | $\mathcal{F}{f(at)} = \frac{1}{\vert a\vert}F(\frac{j\omega}{a})$ |
| 幅度缩放 | $\mathcal{F}{af(t)} = aF(j\omega)$ |
| 微分 | $\mathcal{F}{\frac{d^n}{dt^n}f(t)} = (j\omega)^nF(j\omega)$ |
| 积分 | $\mathcal{F}{\int_{-\infty}^{t}f(x)dx} = \frac{1}{j\omega