49、简单线性时间算法与加权点集生成器研究

简单线性时间算法与加权点集生成器研究

在图论和几何算法领域，寻找高效的算法来解决图的规范表示和几何生成器问题是一个重要的研究方向。本文将介绍一种简单的线性时间算法，用于计算PCA图的规范表示，以及研究加权点集的几何生成器问题。

1. PCA图的规范表示

PCA（Proper Circular Arc）图是图论中的一类重要图。对于PCA图，我们的目标是找到其唯一的规范表示，以便更方便地进行图的比较和分析。

1.1 规范表示的唯一性

首先，我们定义了PCA模型的规范表示。如果从$(E_i, t_i)$得到的序关系$<R$是一个全序关系，那么PCA模型$M$的规范表示是唯一的。也就是说，如果$R_i$和$R_j$都是规范表示，那么$R_i = R_j$。

命题1给出了$E_{i + j}$和$t_j$的计算方法：设$M$是一个PCA模型，且$1 ≤ i, i + j ≤ n$，则$E_{i + j} = E_i ≪ j$，$t_j = b_j - a_j + 1$，其中$a_j$（$b_j$）是$R_i$中第$j$个‘a’（‘b’）的位置。

定理1表明，$A_i$是规范弧当且仅当$R_i$是$M$的规范表示。证明过程通过反证法和逻辑推导得出。

1.2 计算规范表示的算法

下面是计算PCA模型$M$的规范表示$C(M)$的算法：
- 算法2：模型$M$的规范表示
1. 计算$E_i$和$t_i$。
2. 找到$E_i$中对应于$R_i$中某个字符‘$a_c$’的规范位置$a_c$，并设$b_c$是$R_i$中字符‘$b_c$