47、图的特殊余圈基相关研究

图的特殊余圈基相关研究

在图论领域，余圈基的研究对于理解图的结构和性质具有重要意义。本文将深入探讨图的最小余圈基以及最小弱基本余圈基的计算方法，并介绍不同类型余圈基的相关特性。

最小余圈基的计算

对于有向图 $G$，其基础无向图的最小割基（将割解释为 ${-1, 0, 1}^m$ 向量）构成了 $G$ 的最小余圈基。这一结论可以通过相关引理推导得出。

具体来说，我们可以通过以下步骤计算有向图 $G$ 的最小余圈基：
1. 计算 $G$ 的基础无向图的 Gomory - Hu 树 $T$。
2. $T$ 中的每条边 $e_i$ 定义了顶点集的一个划分 $(S_i, V \setminus S_i)$。
3. 令 $C_i \in {-1, 0, 1}^m$ 为对应于划分 $(S_i, V \setminus S_i)$ 的余圈。
4. 返回余圈 $C_1, \ldots, C_{n - 1}$。

由于可以使用 $n - 1$ 次最大流计算来得到 Gomory - Hu 树，因此在一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的有向图中，计算最小余圈基的时间复杂度为 $\tilde{O}(mn^2)$（其中 $|E| = m$，$|V| = n$）。当边的权重是范围在 $[1, \ldots, U]$ 内的整数时，使用 Goldberg - Rao 最大流算法，计算最小余圈基的时间复杂度为 $O(mn \cdot \min(\sqrt{m}, n^{2/3}) \log(n^2/m) \log U)$。

下面是该算法的流程图：