46、图的最小畸变嵌入和特殊余圈基研究

图的最小畸变嵌入和特殊余圈基研究

一、连通二分置换图的最小畸变嵌入

1.1 算法概述

存在一个 $O(n^2)$ 时间复杂度的算法，用于计算具有 $n$ 个顶点的连通二分置换图的畸变。该算法通过归一化非收缩嵌入作为上界，以及诱导的爪路径样子图作为下界，来验证所计算的畸变。

1.2 算法步骤

设 $G = (A, B, E)$ 是一个具有竞争排序 $\sigma = \langle x_1, …, x_n \rangle$ 的二分置换图。对于 $1 \leq i \leq n$，定义 $G_i = G[{x_1, …, x_i}]$。迭代地，应用引理 5 的算法，以具有良好起始的嵌入计算作为预处理，以 bpg - distortion 作为主要过程，计算 $G_1, …, G_n$ 的归一化最小畸变嵌入。如果 $G_{i + 1}$ 的畸变大于 $G_i$ 的畸变，算法甚至会输出一个诱导的爪路径样子图作为证明。$G_i$ 的计算得到的最小畸变嵌入作为计算 $G_{i + 1}$ 畸变的输入。

1.3 运行时间分析

主要观察到 bpg - distortion 不会移动一个顶点两次。通过存储一个位置右侧的顶点数量信息，可以在常数时间内检查两个顶点之间是否有空槽。嵌入中连续顶点的距离至多为 3，因此最多使用 $3n$ 个槽。所以，bpg - distortion 具有 $O(n)$ 时间复杂度的实现。两个预处理算法只需要 $O(n)$ 时间，并且竞争排序可以在线性时间内获得。由于主算法有 $O(n)$ 次迭代，因此总的运行时间为 $O(n^2)$。

1.4 流程图