14、节点成本预算问题的双准则近似权衡

节点成本预算问题的双准则近似权衡

在节点成本预算问题（BP）中，目标是在给定预算限制下，找到一个连通的顶点集，使得获得的利润最大化。本文将详细介绍解决该问题的方法，包括相关概念的定义、寻找候选解的算法以及对最优解结构的分析。

1. 基本概念

• 成本距离与可达性 ：
  • 给定图 (G = (V, E)) 和非负成本函数 (c)，顶点 (u) 和 (v) 之间的成本距离 (d(u, v)) 定义为连接 (u) 和 (v) 的任何路径上内部顶点的最小总成本。
  • 若 (u = v) 或 ((u, v) \in E)，则 (d(u, v) = 0)；若不存在连接 (u) 和 (v) 的路径，则 (d(u, v) = \infty)。
  • 若 (d(u, v) + c(v) \leq p)，则称顶点 (v) 从 (u \neq v) 以成本至多 (p) 可达，任何顶点从自身以成本 (0) 可达。
• 其他定义 ：
  • 对于 (S \subseteq V)，(c(S)) 表示 (S) 的成本，(\pi(S)) 表示 (S) 获得的利润，(\gamma(S)) 表示 (S) 的密度，即 (\gamma(S) = \frac{\pi(S)}{c(S)})。
  • 对于图 (G) 的子树 (T) 和 (v \in T)，(CH_T(v)) 表示 (v) 在 (T) 中的子节点集，(T_u) 表示以顶点 (u \in T) 为根的子树。