17、小波变换中的框架与短时傅里叶变换

小波变换中的框架与短时傅里叶变换

1. 希尔伯特空间中的框架

1.1 框架的定义

在希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中，框架是具有特定性质的向量序列 ${f_n}$。虽然框架不一定是基，但它与基有一些共同性质。任何向量 $x \in \mathcal{H}$ 都可以表示为框架元素的线性组合，即 $x = \sum_{n} c_n f_n$。不过，框架通常具有冗余性，框架向量不一定线性独立。

框架的严格定义为：若存在常数 $A$ 和 $B$，满足 $0 < A \leq B < \infty$，使得对于任意 $x \in \mathcal{H}$，有
$$A\lVert x\rVert^2 \leq \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x, f_n\rangle|^2 \leq B\lVert x\rVert^2$$
则向量序列 ${f_n}$ 是 $\mathcal{H}$ 中的一个框架，$A$ 和 $B$ 称为框架界。

1.2 框架的性质

• 完备性 ：如果向量 $x \in \mathcal{H}$ 与 ${f_n}$ 中的所有元素正交，那么 $x = 0$。这意味着任何 $x \in \mathcal{H}$ 都在框架张成空间的闭包内。
• 不一定线性独立 ：与里斯基的定义相比，框架定义中的左不等式仅确保完备性，而不保证线性独立性。

1.3 用框架元素表示任意向量

对于给定的框架 ${f_n}$，可以关