9、傅里叶变换：连续时间与离散时间信号的频谱分析

傅里叶变换：连续时间与离散时间信号的频谱分析

在信号处理领域，傅里叶变换是一种强大的工具，它能将信号从时域转换到频域，帮助我们更好地理解和处理信号。本文将详细介绍连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT），以及它们的性质和应用。

连续时间傅里叶变换（CTFT）

在傅里叶级数展开中，随着项数的增加，基函数的正交性保证了误差在均方意义上减小。也就是说，均方误差（MSEN）会随着项数N的增加而单调递减。因此，在应用傅里叶级数分析时，更多的项通常能带来更准确的信号表示。

傅里叶级数表示中的周期性约束可以通过将周期T增加到无穷大来消除。经过一系列的数学处理，我们得到了经典的连续时间傅里叶变换（CTFT）：
- 正变换：$S(jw) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-jwt} dt$
- 逆变换：$s(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(jw)e^{jwt} dw$

这里，$S(jw)$ 是 $s(t)$ 的 CTFT，$w$ 是连续频率变量。常见的 CTFT 对如下表所示：

信号	傅里叶变换	傅里叶级数系数（如果是周期信号）
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} u_k e^{jk\omega_0 t}$	$2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} u_k