6、拉普拉斯变换：原理、性质与应用

拉普拉斯变换：原理、性质与应用

1. 拉普拉斯变换的引入

在工程分析以及电路和滤波器设计中，许多信号可被建模为一种特殊形式。这种表示不仅包含多个复频率指数项，而且对于每个可能的频率值 ω，都有一个对应的指数项。每个指数项由一个无穷小幅度的“广义相量”加权。例如，复频率 s = α + jω 处的指数项由相量 (X(\alpha + j\omega)d\omega / 2\pi) 加权，其中微分 (d\omega) 确保了无穷小幅度，比例因子 (2\pi) 是按惯例包含的。通过积分对无穷多个项进行“求和”，得到：
[x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\alpha + j\omega)e^{(\alpha + j\omega)t} d\omega]
这里的 α 只要积分存在就是任意的。若积分对某个 α 收敛，那么对无穷多个 α 积分都存在。

复函数 (X(\alpha + j\omega)) 就是信号 (x(t)) 的拉普拉斯变换（LT）。基于上述讨论，我们可以将 LT 解释为一组依赖于复频率的、无穷多个“相量密度”，包含了求解线性时不变（LTI）系统强迫响应所需的所有幅度和相位信息。我们使用“密度”一词是为了表明，复频率 α + jω 处的 LT 必须乘以微分 (d\omega / 2\pi) 才能与相量类比。因此，LT 的单位例如为伏特每赫兹。不过，LT 远不止是类似相量的表示，它为系统的设计和分析提供了丰富的工具，包括处理无强迫响应、瞬态和稳定性等问题。

为了简化微分方程的求解，我们可以去除信号中多余的复指数形式 (e^{(\alpha + j\omega)t})，即直接处理 LT。为此，我们进行变量替换，