7.3 有源滤波电路（2）

四、开关电容滤波器

开关电容电路由受时钟脉冲信号控制的模拟开关、电容器和运算放大电路三部分组成。这种电路的特性与电容器的精度无关，而仅与各电容器电容量之比的准确性有关。在集成电路中，可以通过均匀地控制硅片上氧化层的介电常数及其厚度，使电容量之比主要取决于每个电容电极的面积，从而获得准确性很高的电容比。自八十年代以来，开关电容电路广泛地应用于滤波器、振荡器、平衡调制器和自适应均衡器等各种模拟信号处理电路之中。由于开关电容电路应用 MOS 工艺，故尺寸小，功耗低，工艺过程较简单，且易于制成大规模集成电路。

1、基本开关电容单元

图7.3.26所示为基本开关电容单元电路，两相时钟脉冲 $\varphi$ 和 $\overline{\varphi }$ 互补，即 $\varphi$ 为高电平时 $\overline{\varphi }$ 为低电平，$\varphi$ 为低电平时 $\overline{\varphi }$ 为高电平；它们分别控制电子开关 $S_1$ 和 $S_2$，因此两个开关不可能同时闭合或断开。当 $S_1$ 闭合时，$S_2$ 必然断开，$u_1$ 对 $C$ 充电，充电电荷 $Q_1=C{u}_1$；而 $S_1$ 断开时，$S_2$ 必然闭合，$C$ 放电，放电电荷 $Q_2=C{u}_2$。设开关的周期为 $T_c$，节点从左到右传输的总电荷为$$\Delta Q=C\Delta u=C(u_1-u_2)$$等效电流$$i=\frac{\Delta Q}{T_c}=\frac{C}{T_c}(u_1-u_2)$$如果时钟脉冲的频率 $f_c$ 足够高，以至于可以认为在一个时钟周期内两个端口的电压基本不变，则基本开关电容单元就可以等效为电阻，其阻值为$$R=\frac{u_1-u_2}{i}=\frac{T_c}{C}$$若 $C=1\text{pF}$，$f_c=100\text{kHz}$，则等效电阻 $R$ 等于 $10\text{MΩ}$。利用 MOS 工艺，电容只需硅片面积 $0.01{\text{mm}}^2$，所占面积极小，所以解决了集成运放不能直接制作大电阻的问题。

2、开关电容滤波电路

图7.3.27(a)所示为开关电容低通滤波器，图（b）所示为它的原型电路。电路正常工作的条件是 $\varphi$ 和 $\overline{\varphi }$ 的频率 $f_c$ 远大于输入电压 ${\dot{U}}_i$ 的频率。因而开关电容单元可等效成电阻 $R$，且 $R=T_c/C_1$。电路的通带截止频率 $f_p$ 决定于时间常数$$\tau =R{C}_2=\frac{C_2}{C_1}{T}_c$$$$f_p=\frac{1}{2\pi \tau }=\frac{C_1}{C_2}\cdot f_c(\mathrm{7.3.47})$$由于 $f_c$ 是时钟脉冲，频率相当稳定；而且 $C_1/C_2$ 是两个电容的电容量之比，在集成电路制作时易于作到准确和稳定，所以开关电容电路容易实现稳定准确的时间常数，从而使滤波器的截止频率稳定。实际电路常常在图7.3.27(a)所示电路的后面加电压跟随器或同相比例运算电路，如图7.3.28所示。

五、状态变量型有源滤波器

将比例、积分、求和等基本运算电路组合在一起，并能够对所构成的运算电路自由设置传递函数，实现各种滤波功能，称这种电路为状态变量型有源滤波电路。这里以二阶为例讲述状态变量型有源滤波器的传递函数的编程、电路的组成和集成电路的特点。

1、二阶有源滤波电路的传递函数

二阶有源滤波电路的传递函数为$$A_u(s)=\frac{a_0+a_{1}s+a_2{s}^2}{b_0+b_{1}s+b_2{s}^2}(\mathrm{7.3.48})$$根据低通、高通、带通和带阻滤波电路传递函数的表达式（7.3.14）、（7.3.25）、（7.3.34）、（7.3.40），合理选择 $a_0$、$a_1$、$a_2$ 和 $b_0$、$b_1$、$b_2$ 的数值（称为编程），即可实现任意传递函数。
当 $a_1=a_2=0$ 时，式（7.3.48）变为$$A_u(s)=\frac{a_0}{b_0+b_{1}s+b_2{s}^2}(\mathrm{7.3.49})$$表明电路实现二阶低通滤波。
当 $a_0=a_1=0$ 时，式（7.3.48）变为$$A_u(s)=\frac{a_2{s}^2}{b_0+b_{1}s+b_2{s}^2}(\mathrm{7.3.50})$$表明电路实现二阶高通滤波。
当 $a_0=a_2=0$ 时，式（7.3.48）变为$$A_u(s)=\frac{a_{1}s}{b_0+b_{1}s+b_2{s}^2}(\mathrm{7.3.51})$$表明电路实现二阶带通滤波。
当 $a_1=0$ 时，式（7.3.48）变为$$A_u(s)=\frac{a_0+a_2{s}^2}{b_0+b_{1}s+b_2{s}^2}(\mathrm{7.3.52})$$表明电路实现二阶带阻滤波。
由以上分析可知，如果能够根据式（7.3.48）组成电路，并能方便地改变电路参数，就能实现各种滤波功能。改变 $a_0$、$a_1$、$a_2$ 和 $b_0$、$b_1$、$b_2$ 的数值，不但能够改变滤波的类型，而且可以获得不同的通带放大倍数和通带截止频率。

2、状态变量型有源滤波电路的组成

根据式（7.3.48），利用基本运算电路可以构造出二阶有源滤波电路，如图7.3.29所示。图中箭头表示信号的传递方向；每个方框表示一个基本运算电路，有比例、积分和求和三种运算电路，方框的输出标注了运算关系。

输入电压所接求和运算电路的输出，即 $\text{P}$ 点的表达式为$$U_p(s)=b_{2}x=U_i(s)-\frac{b_{1}x}{s}-\frac{b_{0}x}{s^2}$$经整理，可得$$U_i(s)=(\frac{b_0}{s^2}+\frac{b_1}{s}+b_2)x$$输出电压的表达式$$U_o(s)=(\frac{a_0}{s^2}+\frac{a_1}{s}+a_2)x$$所以，传递函数$$A_u(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{a_0+a_{1}s+a_2{s}^2}{b_0+b_{1}s+b_2{s}^2}$$与式（7.3.48）相同。改变求和运算电路 $Ⅱ$ 的输入，就可改变 $A_u(s)$，从而得到不同类型的滤波电路。用实际电路取代方框图时，可以适当简化。合理选择积分运算电路的 $R$ 和 $C$，可以不需比例运算电路，直接获得合适的 $b_0$ 和 $b_1$。利用二阶电路的构思方法，可以实现高阶滤波电路。

3、集成状态变量型滤波电路

集成状态变量型滤波电路由若干基本运算电路组合而成，仅需外接几个电阻，就可得到低通、高通、带通和带阻滤波电路，因而均为多功能电路。型号为 AF100 的集成电路是二阶集成状态变量型滤波电路，它利用积分运算电路的频率特性来实现滤波作用，内部电路如图7.3.30所示。

从对反相输入低通滤波器的分析可知，积分运算电路具有低通特性。但当频率趋近于零时其电压放大倍数的数值将趋于无穷大，故在电容 $C$ 上并联电阻 $R_2$，如图7.3.11所示，以确定通带放大倍数。同理，在图7.3.30所示电路中，也是利用电阻网络引入级间负反馈来限制通带放大倍数的。当 $U_{o1}(s)$ 接 $U_{i2}(s)$ 时，通过电阻 $R_1$ 引入负反馈；当 $U_{o1}(s)$ 接 $U_{i2}(s)$，且 $U_{o2}(s)$ 接 $U_{i3}(s)$ 时，通过电阻 $R_2$ 引入负反馈。
AF100 的典型接法之一如图7.3.31所示，凡打 “ * ” 的均为外接电阻。四个集成运放的输出实现四种滤波功能。以集成运放作为放大电路，以一种运算电路作为其反馈通路，便可实现该种运算的逆运算，利用这一道理，可以较容易地理解图7.3.31所示电路的组成及其工作原理。例如，若反馈通路是低通滤波电路，则整个电路实现高通滤波；若反馈通路是高通滤波电路，则整个电路实现低通滤波。在参数选择得当时，若高通滤波电路串联一个低通滤波电路，则整个电路实现带通滤波；若高通滤波电路的输出与低通滤波电路的输出接求和运算电路，则整个电路实现带阻滤波；根据式（7.3.51），若带通滤波电路串联一个积分电路，则必然消去带通滤波电路传递函数中分子的 $s$，故整个电路实现低通滤波。

根据上述原则可知，在 $U_i(s)$ 作用下，若以 $U_{o1}(s)$ 为输出，则因其反馈通路为串接的两个积分运算电路，即二阶低通滤波电路，故实现的是二阶高通滤波。若以 $U_{o2}(s)$ 为输出，则因高通滤波的输出 $U_{o1}(s)$ 又经低通滤波，故实现带通滤波。若以 $U_{o3}(s)$ 为输出，则因带通滤波的输出 $U_{o2}(s)$ 又经积分电路，故实现低通滤波。若以 $U_{o4}(s)$ 为输出，则因高通滤波的输出 $U_{o1}(s)$ 和低通滤波的输出 $U_{o3}(s)$ 经求和运算，故必然实现带阻滤波。因此，整个电路从不同的输出端得到四种不同的滤波功能。电路具体的分析计算如下。
$A_1$ 同相输入端（这里 $R_1$ 的阻值应该为 $10\text{k}\Omega$）$$U_p(s)=0.1U_{o2}(s)$$根据叠加原理，以 $U_i(s)$、$U_{o2}(s)$ 和 $U_{o3}(s)$ 为输入，第一级求和电路的输出$$U_{o1}(s)=-U_i(s)+0.2U_{o2}(s)-0.1U_{o3}(s)$$即$$U_i(s)=-U_{o1}(s)+0.2U_{o2}(s)-0.1U_{o3}(s)(\mathrm{7.3.53})$$若 $R_6$、$R_7$ 用 $R$ 取代，$C_1$、$C_2$ 用 $C$ 取代，则 $U_{o1}(s)$、$U_{o2}(s)$ 和 $U_{o3}(s)$ 之间的关系为$$U_{o2}(s)=-\frac{U_{o1}(s)}{sRC}(\mathrm{7.3.54})$$$$U_{o3}(s)=-\frac{U_{o2}(s)}{sRC}=\frac{U_{o1}(s)}{(sRC{)}^2}(\mathrm{7.3.55})$$$$U_{o1}(s)=-sRC{U}_{o2}(s)=(sRC{)}^2{U}_{o3}(s)(\mathrm{7.3.56})$$将式（7.3.54）、（7.3.55）、（7.3.56）代入式（7.3.53），可以分别求出 $U_{o1}(s)$、$U_{o2}(s)$、$U_{o3}(s)$ 和 $U_i(s)$ 之间的传递函数$$A_{u1}(s)=\frac{U_{o1}(s)}{U_i(s)}=-\frac{10(sRC{)}^2}{1+2sRC+10(sRC{)}^2}(\mathrm{7.3.57})$$$$A_{u2}(s)=\frac{U_{o2}(s)}{U_i(s)}=\frac{10sRC}{1+2sRC+10(sRC{)}^2}(\mathrm{7.3.58})$$$$A_{u3}(s)=\frac{U_{o3}(s)}{U_i(s)}=-\frac{10}{1+2sRC+10(sRC{)}^2}(\mathrm{7.3.59})$$因为 $U_{o4}(s)=-[A_{u1}(s)+A_{u3}(s)]U_i(s)$，所以$$A_{u4}(s)=\frac{U_{o4}(s)}{U_i(s)}=-\frac{10+10(sRC{)}^2}{1+2sRC+10(sRC{)}^2}(\mathrm{7.3.60})$$将式（7.3.57）、（7.3.58）、（7.3.59）、（7.3.60）与式（7.3.49）、（7.3.50）、（7.3.51）、（7.3.52）比较可知，$A_{u1}(s)$、$A_{u2}(s)$、$A_{u3}(s)$ 和 $A_{u4}(s)$ 分别为高通、带通、低通和带阻滤波电路的传递函数，与定性分析的结果相同。