Gerstner Wave 理解

        这是一篇理解Gerstner Wave的文章。

 

        首先给出理想sin波的方程，假设波位于xoy平面，a是振幅，k是频率，c是波速：

        先看上半部分的sin波，红点代表平衡位置，黑点代表表面的偏移位置。可以看到sin波只考虑了垂直方向的移动。从本质上说，水面波是横波和纵波的集合，但上面的正弦波我们只考虑了它的横波分量，即与传播方向垂直的运动。实际上水面波也会在传播方向上运动，我们在日常生活中也经常看到，比如飘在水面的叶子也会在波传播的方向上左右晃动，而非单纯的上下移动。

        那么这个纵波具有什么样的特性呢？假设是不可压缩流体，表面质点分布均匀的话，我们知道在波峰的位置，由于表面往上移动，必须要有水流来填补下面的空间，这意味着周边质点汇集。而在波谷的位置，由于表面上的质点往下移动，肯定会将下面的水体挤出，导致下面的质点分散。所以物理正确的波形，在波峰处肯定要陡峭一些，在波谷处肯定要平缓一些。Gerstner波就描述了这种特性：参考上图下半部分，红点代表平衡位置。在波峰附近，周围的质点会向它聚集。在波谷附近，周围的质点会远离它。并且这个纵波刚好与横波相反，横波的波峰对应纵波的波谷，横波的波谷对应纵波的波峰，实际上这时候纵波可以用余弦函数表示。

        不妨看一些Gerstner波的演示图：

        可以清晰的看到表面质点的汇集和分散现象，同时这里给出了质点的受力分析：水体表面的质点受到重力（向下）和水的压力（指向表面法线方向），两者结合的合力组成了匀速圆周运动的向心力。

        参考上图，不止是表面会做这样的圆周运动，在水体内部也一样，只是半径随着深度变大而减小。

        wiki上给出Gerstner波的公式如下：这里(a, b)代表是是原始的xy位置，实际上就是一个以(a,b)为圆心的参数方程：

        有几点需要修改，首先我们需要波向x轴正方向传播，所以波速c要带负号；其次我们希望y方向初始是sin波，所以需要向右平移PI/2相位；另外根据波速与频率的关系c*c=g/k，得到结果如下：

        这里的b代表表面压力，是一个负值，所以exp(kb)介于0~1之间，在b=0时取得最大值1，实践时通常使用陡峭度(steepness)来代替。值越大时，波的幅值越大所以越陡峭。从而得到最终的公式：

参考：

水体渲染之Gerstner波形理解与推导 - 知乎

https://en.wikipedia.org/wiki/Trochoidal_wave

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