11、私密稳定匹配算法详解

私密稳定匹配算法详解

在当今数字化时代，匹配问题在众多领域都有着广泛的应用，如婚恋匹配、资源分配等。而私密稳定匹配算法则在保证匹配结果稳定的同时，还能保护参与者的隐私信息。本文将详细介绍一种私密稳定匹配算法，包括其基本原理、使用的密码学构建模块、加密偏好的方法以及算法的具体执行步骤和相关性质。

1. 算法基本原理与前提

在私密稳定匹配算法中，存在一些基本的设定和规则。设存在 (m) 个男性 (A_1, \cdots, A_m) 和 (n) 个女性 (B_1, \cdots, B_n)。用 (r_{i,j} \in {0, \cdots, n - 1}) 表示男性 (A_i) 对女性 (B_j) 的排名，(s_{j,i} \in {0, \cdots, m - 1}) 表示女性 (B_j) 对男性 (A_i) 的排名。

在算法执行过程中，会涉及到两个集合：(E_k) 表示第 (k) 轮开始时已订婚的投标集合，(F_k) 表示第 (k) 轮开始时自由的投标集合。并且始终有 (|E_k| = n)。在第 (k) 轮中，已订婚的男性不会逐步从集合 (E_k) 移动到集合 (E_{k + 1})，而是在第 (k) 轮结束时一次性移动。每次提出新的求婚时，(F_k) 的基数减 1，(F_{k + 1}) 的基数加 1，而 (E_k) 的基数保持不变，无论女性是否更换伴侣。

该算法能输出真实男性 (A_1, \cdots, A_n) 和 (n) 个女性 (B_1, \cdots, B_n) 之间的稳定匹配。证明匹配稳定的过程与原始的 Gale - Shapley 算法类似。通过反证法证明最终匹配只涉及真实男性：一旦女性与真实男性订婚，由于所有女性都将所有真实男性排在所有虚假