28、特殊单节点排队模型与变参数排队系统解析

特殊单节点排队模型与变参数排队系统解析

1. 配对队列（双端队列）

在配对队列中，两种不同类型的物品按照已知过程到达系统，每种物品需要与另一种类型的物品配对后才能离开系统。例如，有两个过程 A 和 B，当 A 类型物品到达时，若有等待的 B 类型物品，它们就会配对；否则，A 类型物品会在系统中等待，直到有 B 类型物品到达。这种队列及其变体在装配线（通常需要匹配两种以上的产品）和电信中的令牌桶中很常见。

假设过程 A 和 B 的到达服从几何分布，参数分别为 a 和 b。设 (X_n(A)) 和 (X_n(B)) 分别是到时间 n 时到达系统的 A 类型和 B 类型物品的总数，(X_n = X_n(A) - X_n(B)) 为时间 n 时的差值。若 (X_n < 0)，则 B 类型物品有剩余；若 (X_n > 0)，则 A 类型物品有剩余。此时，({X_n, n \geq 0}) 是一个状态空间为 ({\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots}) 的马尔可夫链，其转移矩阵 P 为：
[
P =
\begin{bmatrix}
\cdots & \cdots \
\cdots & \cdots & \cdots \
A_2 & A_1 & A_0 \
A_2 & A_1 & A_0 \
A_2 & A_1 & A_0 \
\cdots & \cdots & \cdots \
\cdots & \cdots
\end{bmatrix}
]
其中 (A