18、排队模型分析：GI/G/1、MAP/PH/1与批量排队系统

排队模型分析：GI/G/1、MAP/PH/1与批量排队系统

1. GI/G/1 排队模型概述

GI/G/1 排队模型是最基础且通用的单服务器排队模型。然而，要获得其系统中数量的平稳分布的精确解并非易事，因此需要采用数值方法。

设连续两个数据包的到达间隔时间为 (A > 0)，定义 (a_k = Pr{A = k})；每个数据包的服务时间为 (S > 0)，定义 (b_k = Pr{S = k})，且到达间隔时间和服务时间相互独立。任何具有有限支撑的离散概率分布都可以表示为 PH 分布，即便支撑是无限的，也能通过 IPH 分布表示。所以，到达间隔时间和服务时间具有有限支撑的 GI/G/1 系统可以建模为 PH/PH/1 系统。

考虑 (a_k = 0)（(\forall k > K_a = n_t < \infty)）和 (s_j = 0)（(\forall j > K_s = n_s < \infty)）的情况，可写为 (a = [a_1, a_2, \cdots, a_{n_t}])，(b = [b_1, b_2, \cdots, b_{n_s}])。将这两个分布表示为 PH 分布有两种方法：已用时间（ET）方法和剩余时间（RT）方法，因此 GI/G/1 系统有四种可能的表示方式：(ET,ET)、(RT,RT)、(ET,RT) 和 (RT,ET)，下面主要讨论 (RT,RT) 和 (ET,ET)。

2. (RT,RT) 表示法

利用相关结果，可将到达间隔时间和服务时间写为 RT 类型的 PH 分布。对于到达间隔时间，PH 分布表示为 ((\alpha,T))，其中 (\alpha = [a_1, a