17、连续概率分布的理论与应用

连续概率分布的理论与应用

1. 指数分布

1.1 理论计算

指数分布是伽马分布在特定参数下的特殊情况。当伽马分布的参数 $\lambda = 1$ 时，就变成了指数分布。指数分布的概率密度函数（PDF）为：
[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0]
累积分布函数（CDF）为：
[F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}, x \geq 0]
指数分布的均值为 $\frac{1}{\lambda}$，方差为 $\frac{1}{\lambda^2}$。指数分布常用于模拟事件之间的时间间隔，而泊松分布则用于模拟固定时间内的事件计数。

1.2 示例

假设修理一台机器所需的时间（以小时为单位）服从指数分布，均值为 2 小时。即 $\lambda = \frac{1}{2}$。
- a) 修理时间恰好为 6 小时的概率 ：
在连续分布中，某一具体点的概率为 0，但我们可以通过概率密度函数计算近似值。
[P(X = 6) = \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} \times 6} = e^{-3} \approx 0.02489]
- b) 修理时间至多为 3 小时的概率 ：
[P(X \leq 3) = 1 - e^{-\frac{1}{2} \times 3} \approx 0.7769]
- c) 修理时间超过 5 小时的概率 ：
[P(