8、随机变量与概率分布：概念、类型及工程应用

随机变量与概率分布：概念、类型及工程应用

1. 概率的基本概念

概率是指在所有可能事件中某一结果出现的可能性。以抛硬币为例，抛一枚硬币时，出现正面的概率是 1/2。这是因为抛硬币的所有可能结果只有正面和反面两种，而我们期望的正面结果只有一种，所以正面出现的概率为 1/2。

概率基于所有可能结果的数量以及我们期望的结果数量。我们把期望的结果称为事件，事件是样本空间的子集，样本空间是一个实验所有可能结果的集合，通常用符号 S 表示样本空间，E 表示事件，且 E ⊆ S。例如，掷骰子时，样本空间 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，子集 E1 可以是 {1, 3, 5}（表示奇数集合）或 {2, 4, 6}（表示偶数集合），这里事件 E1 的数量 n(E1) = 3。

概率可以用公式表示为：P(E) = n(E) / n(S)，即事件 E 发生的方式数与所有可能结果数（样本空间）的比值。事件的概率总是介于 0 和 1 之间，且为正数。概率为 0 表示事件不可能发生，概率为 1 表示事件必然发生，比如太阳从东方升起的概率就是 1。

2. 概率在工程中的应用实例

概率在工程领域有广泛的应用，以下是一些具体的例子：
| 应用场景 | 具体问题 |
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| 系统可靠性 | 一个系统由三个组件组成，只有当所有组件都正常工作时系统才能运行。每个组件的故障概率分别为 0.21、0.34 和 0.42。求整个系统故障的概率以及至少有一个组件故障的概率。 |
| 机械装配 | 在机械装配过程中，有两个关键特性需要在指定范围内：事件 A 是表面粗糙度在指定范围内，事件 B 是摩擦系数在