39、向量分解问题分析

向量分解问题分析

1. CDH 与 co - CDH 的关系

假设存在一个以至少 ϵ 的概率解决 CDH（计算 Diffie - Hellman）问题的预言机。对于 co - CDH 实例 (S, aS, T)，我们要计算 aT。已知 φ2(T) = cS（c 为整数，不一定能明确知道），且 φ1(cS) = dT（d 已知）。因为 CDH(S, aS, cS) = acS，所以 co - CDH 问题的解为 (d−1 (mod r))φ1(CDH(S, aS, φ2(T)))，这意味着我们能以至少 ϵ 的概率解决 co - CDH 问题（CDH 和 co - CDH 显然是随机自约化的）。

反之，若 S, aS, bS 是 CDH(G1) 的一个实例，可得到 co - CDH 实例 (S, aS, φ1(bS))，CDH 的解为 (d−1 (mod r))φ2(co - CDH(S, aS, φ1(bS)))。

由此可得到推论 3：假设 G 有一个扭曲特征向量基 (S, T)，令 G1 = ⟨S⟩。若有一个以至少 ϵ 的概率解决 VDP（向量分解问题）的预言机，那么可以以至少 ϵ 的概率解决 CDH(G1)。

推论 4 指出，若 (S, T) 是 G 的扭曲特征向量基，则 VDP 等价于 CDH(⟨S⟩)。这是文章的一个重要结果，表明在很多情况下 VDP 与 CDH 是等价的，对吉田结果有显著的改进，并且能让我们全面理解超奇异曲线的 VDP。

2. 陷门 VDP 的应用

命题 1 表明 VDP 对于某些基来说是容易的，而定理 1 指出 VDP 一般情况下是困难的。因此，自然会想到是否可以构建一个陷门 VDP 系统。