6、一元模方程求解与明文感知相关研究

一元模方程求解与明文感知相关研究

1. 一元模方程求解问题概述

1.1 问题背景

求解模单变量多项式方程（SMUPE - problem）通常被认为是困难的，但在对根有一定限制的情况下，情况并非如此。D. Coppersmith 展示了如何确定模单变量方程中足够小的根。

1.2 相关定理

• Coppersmith 定理 ：设 $f(x)$ 是一个次数为 $\delta \in N$ 的首一多项式，模一个未知因式分解的整数 $N$。设 $X$ 是所需解 $x_0$ 的一个界。如果 $X \leq N^{\frac{1}{\delta}}$，则可以在时间 $O(\delta^5(\delta + \log N) \log N)$ 内找到所有满足 $f(x_0) \equiv 0 \pmod{N}$ 且 $|x_0| \leq X$ 的整数 $x_0$。
• 中国剩余定理（多项式形式） ：设 $k \in Z$，$\delta \in N$ 且 $\delta > 1$。对于 $i = 1, \ldots, k$，设 $N_i \in N$ 是两两互质的数，$f_i(x) \in Z[x]$ 是次数为 $\delta$ 的多项式。那么存在一个唯一的多项式 $f(x)$ 模 $M := \prod_{i = 1}^{k} N_i$，使得 $f(x) \equiv f_i(x) \pmod{N_i}$。该多项式 $f(x)$ 可以在时间 $O(\delta \log^2 M)$ 内确定。

1.3 求解 SMUPE