71、基于环 LWE 的全同态加密技术解析

基于环 LWE 的全同态加密技术解析

1. 环学习误差问题及其变体

在加密领域，“环学习误差”（RLWE）假设是一个重要的概念。这里介绍其一个变体——多项式学习误差（PLWE）假设。它实际上隐含于 Lyubaskevsky、Peikert 和 Regev 提出的 RLWE 假设中，可看作是其特殊情况。对于我们关注的参数，若能打破 PLWE 假设，就能得到解决最坏情况理想格问题的算法。我们采用 PLWE 假设，一方面是为了让阐述更基础，另一方面也受加密方案中消息编码选择的影响。

PLWE 假设类似于 Regev 定义的“学习误差”（LWE）假设。在 PLWE 假设中，我们考虑环 (R = \mathbb{Z}[x]/ \langle f(x) \rangle) 和 (R_q = R/qR)，其中 (f(x)) 是 (\mathbb{Z}[x]) 中次数为 (n) 的整数多项式，(q) 是质数。(R_q) 等同于 (\mathbb{Z}_q[x]/ \langle f(x) \rangle)，即系数在 (\mathbb{Z}_q) 中的次数为 ((n - 1)) 的多项式环。这些环中的加法按系数逐分量进行，乘法是多项式乘法模 (f(x))（在 (R_q) 中还需模 (q)）。

一个元素在 (R)（或 (R_q)）中可看作是 (\mathbb{Z})（或 (\mathbb{Z} q)）上次数为 ((n - 1)) 的多项式，我们用其系数向量来表示这样的元素。对于元素 (a(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a {n - 1}x^{n - 1} \in R)，其 (\ell_{\infty}) 范数定义为 (|a| = \max |a_i|)。