98、所有域上HFE系统求逆的拟多项式性质

所有域上HFE系统求逆的拟多项式性质

1. HFE系统基础

在HFE（Hidden Field Equations）系统的研究中，我们首先从一些基本概念入手。设$F$是一个阶为$q$的有限域，$K$是$F$的$n$次扩域。从$K$到$K$的任何函数都可以表示为系数在$K$中且次数小于$q^n$的多项式，其一般形式为：
$P(X) = \sum_{i = 0}^{q^n - 1} a_iX^i$，其中$a_i \in K$。

这里，多项式$P$有两个不同的次数概念：在$K$上的次数$\text{deg} K(P)$，这是多项式函数通常意义上的次数；在$F$上的次数$\text{deg}_F(P)$。对于单项式$X^d$，其在$F$上的次数是$d$的$q$进制展开中各位数字之和，即若$d = \sum {i} d_iq^i$，则$\text{deg} F(X^d) = \sum {i} d_i$。当$q = 2$时，这就是$d$的二进制表示的汉明重量，而$\text{deg}_F(P)$是$P$中单项式项次数的最大值。

一个从$K$到$K$的$F$-二次函数是所有单项式项的指数为$q^i + q^j$或$q^i$（其中$i$和$j$为某些值）的多项式，其一般形式为：
$P(X) = \sum_{i,j = 0}^{n - 1} a_{ij}X^{q^i + q^j} + \sum_{i = 0}^{n - 1} b_iX^{q^i} + c$。

在HFE密码系统中，来自$F^n$的明文通过将$F^n$与$K$进行标识，并使用一个$F$-二次映射$P$进行加密。为了进一步隐藏$P$的性质，会在前后分别与