56、量子世界中的密码学协议探索

量子世界中的密码学协议探索

量子查询复杂度

在各类协议中，不同参与方的工作可通过对黑盒随机函数的查询次数来量化，这些黑盒随机函数可用随机预言机建模。下面将回顾量子查询复杂度的主要成果，并简述一个用于证明下界所需的新技术成果。

上界

攻击行为可建模为约翰逊图上的量子行走。约翰逊图 $J(n, r)$ 是无向图，每个节点包含 $[n]$ 中的 $r$ 个不同元素，当且仅当两个节点恰好有两个元素不同时，它们之间存在边。直观来看，从一个节点“行走”到相邻节点，就是去掉一个元素并替换为另一个元素。任务是找到 $[n]$ 的特定 $k$ 子集，包含该子集的节点被标记。

约翰逊图上的随机行走 $P$ 可被量子化，所得量子算法的成本可表示为 $S$、$U$ 和 $C$ 的函数。其中，$S$ 是将量子寄存器设置为对应平稳分布状态的成本，$U$ 是从一个节点到相邻节点进行酉变换的成本，$C$ 是检查节点是否被标记并在标记时翻转其相位的成本。

定理 5 ：设 $M$ 为空集或包含固定大小为 $k \leq r$ 的子集的顶点集。那么存在一个量子算法，若 $M$ 非空，则能以高概率找到该 $k$ 子集，预期成本的数量级为：
$S + \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \left( \frac{1}{\sqrt{\delta}} U + C \right)$
其中，$\delta = \frac{n}{r(n - r)}$ 是 $J(n, r)$ 上对称行走的特征值间隙，$\varepsilon = \Omega(\frac{r^k}{n^k})$ 是节点被标记的概率。