30、可分离实例的Bregman聚类研究

可分离实例的Bregman聚类研究

一、Bregman k - 中值聚类基础

1.1 Bregman散度定义

Bregman散度是一种衡量差异的度量，它由Lev M. Bregman在1967年提出。对于凸集 (X \subseteq \mathbb{R}^d) 和严格凸且可微的函数 (\varphi : X \to \mathbb{R})，Bregman散度定义为：
[D_{\varphi}(p, q) = \varphi(p) - \varphi(q) - \nabla\varphi(q)^{\top}(p - q)]
其中 (p, q \in X)，(\nabla\varphi(q)) 表示 (\varphi) 在点 (q) 处的梯度。

常见的Bregman散度包括：
- 平方欧几里得距离 (D_{\ell_2^2}(p, q) = |p - q| 2^2)，其中 (\varphi {\ell_2^2}(t) = |t| 2^2)。
- 广义Kullback - Leibler散度 (D {KL}(p, q) = \sum p_i \ln \frac{p_i}{q_i} - \sum(p_i - q_i))，其中 (\varphi_{KL}(t) = \sum t_i \ln t_i - t_i)。
- Itakura - Saito散度 (D_{IS}(p, q) = \sum(\frac{p_i}{q_i} - \ln \frac{p_i}{q_i} - 1))，其中 (\varphi_{IS}(t) = -\sum \ln t_i)。

一般来说，Bre