30、可分实例的Bregman聚类：原理与应用

可分实例的Bregman聚类：原理与应用

1. 引言

在聚类分析领域，Bregman k - 中位数问题是一个重要的研究方向。对于可分输入实例，我们可以通过特定的方法来近似求解该问题。当输入实例大小为 (|P| = n) 时，通过独立计算 bregmeans++ 种子 (2^{O(k)}) 次并选择最优的中心集，能够以任意高的概率得到 k - 中位数问题的常数因子近似解。这个过程最多使用 (2^{O(k)}n) 次算术运算，包括对 (D_{\varphi}) 的评估。虽然少量的 Lloyd 迭代可以显著提高解的质量，但目前还没有关于这种改进的近似保证，而理论上可证明的近似因子已经适用于种子步骤计算的解。

2. 预备知识

2.1 Bregman k - 中位数聚类

Bregman 散度是一种衡量差异的度量，由 Lev M. Bregman 在 1967 年引入。直观上，Bregman 散度可以看作是用切超平面近似凸函数时的误差。其正式定义如下：
设 (X \subseteq \mathbb{R}^d) 是凸集，对于任何严格凸且可微的函数 (\varphi: X \to \mathbb{R})，我们定义关于 (\varphi) 的 Bregman 散度为：
[D_{\varphi}(p, q) = \varphi(p) - \varphi(q) - \nabla\varphi(q)^{\top}(p - q)]
其中 (p, q \in X)，(\nabla\varphi(q)) 表示 (\varphi) 在点 (q) 处的梯度。

Bregman 散度包含许多著名的差异度量，如下表所示：
| 散度