29、用更少峰值的曲线表示函数曲线及Bregman聚类

用更少峰值的曲线表示函数曲线及Bregman聚类

在数据分析和曲线处理中，如何用更简单的曲线来表示复杂的函数曲线，以及如何对数据进行有效的聚类是两个重要的问题。下面我们将详细探讨这两个方面的内容。

单峰表示问题（UR）

在研究单峰表示问题时，我们要求所有单峰曲线是非负的。对于整数 (i’) 和 (i’‘)（(i’ < i’‘)），([i’…i’‘]) 表示 (i’) 到 (i’‘) 之间的整数序列。对于曲线 (f = (f_1, f_2, …, f_n))，(f[i’…i’‘]) 表示 (f) 限制在索引 ({i’, i’ + 1, …, i’‘}) 上的部分。

以下是两个重要的引理，它们揭示了潜在的几何结构：
- 引理9 ：设 (h^{(1)}, h^{(2)}, …, h^{(k)})（(k \geq 1)）是定义在 ([1…n]) 上的单峰函数曲线，且每个 (h^{(j)}) 在 (i_j^ ) 处达到峰值，满足 (1 \leq i_1^ \leq i_2^ \leq … \leq i_k^ \leq n)。那么曲线 (h = \sum_{j = 1}^{k} h^{(j)}) 满足：
- (h) 在 ([1…i_1^ ]) 上是非负且非递减的；
- 对于每个 (j = 1, 2, …, k - 1)，(h) 在 ([i_j^ …i_{j + 1}^ ]) 上是 0 - UDP 可表示的；
- (h) 在 ([i_k^ …n]) 上是非负且非递增的。
- 引理10