29、用更少峰值的曲线表示函数曲线及Bregman聚类可分实例分析

用更少峰值的曲线表示函数曲线及Bregman聚类可分实例分析

在数据处理和分析领域，常常会遇到需要对曲线进行简化表示以及对数据进行聚类的问题。本文将探讨用更少峰值的曲线表示函数曲线的相关算法，以及Bregman聚类可分实例的解决方案。

用更少峰值的曲线表示函数曲线

在处理曲线时，有时需要用更少峰值的曲线来近似表示原曲线，这涉及到单峰表示问题（UR）。

基本定义与引理

• 对于整数 (i’) 和 (i’‘)（(i’ < i’‘)），([i’…i’‘]) 表示 (i’) 到 (i’‘) 之间的整数序列。对于曲线 (f = (f_1, f_2, …, f_n))，(f[i’…i’‘]) 表示 (f) 在索引 ({i’, i’ + 1, …, i’‘}) 上的部分。
• 引理 9：设 (h(1), h(2), …, h(k)) 是 (k\geq1) 条定义在 ([1…n]) 上的单峰函数曲线，且 (h(j)) 在 (i_j^ ) 处达到峰值（(1\leq i_1^ \leq i_2^ \leq\cdots\leq i_k^ \leq n)）。那么曲线 (h = \sum_{j = 1}^{k} h(j)) 满足：
  1. (h) 在 ([1…i_1^*]) 上是非负且非递减的；
  2. (h) 在 ([i_j^ …i_{j + 1}^ ]) 上是 0 - UDP 可表示的（(j = 1, 2, …, k - 1)）；
  3. (h) 在 ([i_k^ …n]) 上是非负且非递增的。
     证明：因为