8、稀疏扩张器与贪心良好分离对分解的出现

稀疏扩张器与贪心良好分离对分解的出现

1. 引言

在图论和计算几何领域，稀疏扩张器（Sparse Spanners）和良好分离对分解（Well - Separated Pair Decomposition，WSPD）是重要的概念。稀疏扩张器是一个图的子图，它能以较小的边数近似原图中任意两点间的距离；良好分离对分解则是将点集划分为一系列良好分离的点对集合。本文将介绍一种无协调的扩张器构造算法，并探讨其与贪心良好分离对分解的联系，以及相关的应用。

2. 无协调扩张器构造算法

给定 $R^d$ 中的 $n$ 个点，每个点 $p$ 会检查是否应构建边 $pq$。构建规则如下：
- 构建条件 ：仅当不存在边 $p’q’$ 使得 $p$ 和 $q$ 分别与 $p’$、$q’$ 的距离小于 $\frac{|p’q’|}{2(s + 1)}$ 时，$p$ 才会构建边 $pq$。
- 构造过程 ：不同的代理以完全无协调的方式执行边的增量构造。假设没有两个代理会同时执行上述策略，每个代理的决策基于当前已构建的网络。当所有代理完成对从自身到其他所有点的边的检查后，算法终止。

该算法构建的图 $G$ 具有以下性质：
- 引理 1 ：
1. 对于不在 $G$ 中的任意边 $pq$，$G$ 中存在另一条边 $p’q’$，使得 $|pp’| \leq \frac{|p’q’|}{2s + 2}$ 且 $|qq’| \leq \frac{|p’q’|}{2s + 2}$。
2. 对于构建图 $G$ 中的任意两条边 $pq$ 和