30、LQG微分博弈的特性分析

LQG微分博弈的特性分析

1. LEG博弈问题的表述

LEG博弈问题可表述为 ∗ = minUeN−1 maxUpN−1 ，其中 = E[e−θS]，S 的定义如(12.2)所示。参数 θ 被选为负数，后续会解释原因。

明确考虑期望算子：
E[e−θS] = Ex0,W,V[e−θS]
其中 x0、W = {w0, w1, …, wN−1} 和 V = {v0, v1, …, vN} 是基础随机变量。

也可将期望用关于随机变量的密度函数积分明确表示为：
E[e−θS] = α ∫ e−θS e−1/2||x0−x0||2 P−10 × ∏i=0N−1 (e−1/2||wi||2 W−1i × e−1/2||vi||2 V−1i) × e−1/2||vN||2 V−1N dx0dWdV
其中
α = 1 / |P0|1/2 × 1 / |VN|1/2 × ∏i=0N−1 1 / |Wi|1/2|Vi|1/2

解决LEG问题的关键在于，对随机变量的积分等价于对该随机变量求指数项的极值。同时，积分结果是除以加权该随机变量范数的项的行列式的平方根。后续会进一步解释这一事实。

由方程(12.3)，可定义：
Sc = S + 1/2 (∥x0 − x0∥2 (θP0)−1 + ∥vN∥2 (θVN)−1 + ∑i=0N−1 (∥wi∥2 (θWi)−1 + ∥vi∥2 (θVi)−1))
显然有：
minUe maxUp E[e−θS] = βe−θSc∗
其中
Sc∗ = minUe maxUp extx0 extW extV Sc
β 是积