30、LQG微分博弈特性与求解分析

LQG微分博弈特性与求解分析

1. LEG博弈问题的提出

LEG博弈问题可以表述为 $\gamma^* = \min_{U_e^{N - 1}} \max_{U_p^{N - 1}} \gamma$，其中 $\gamma = E[e^{-\theta S}]$，$S$ 如式 (12.2) 所定义。参数 $\theta$ 取负值，后续会解释原因。

明确期望算子：
$E[e^{-\theta S}] = E_{x_0, W, V}[e^{-\theta S}]$
其中 $x_0$，$W = {w_0, w_1, \ldots, w_{N - 1}}$，$V = {v_0, v_1, \ldots, v_N}$ 是潜在的随机变量。

也可以将期望明确表示为关于随机变量的密度函数积分形式：
$E[e^{-\theta S}] = \alpha \int e^{-\theta S} e^{-\frac{1}{2} |x_0 - \bar{x} 0|^2 P_0^{-1}} \times \prod {i = 0}^{N - 1} (e^{-\frac{1}{2} |w_i|^2 W_i^{-1}} \times e^{-\frac{1}{2} |v_i|^2 V_i^{-1}}) \times e^{-\frac{1}{2} |v_N|^2 V_N^{-1}} dx_0 dW dV$
其中
$\alpha = \frac{1}{\vert P_0 \vert^{\frac{1}{2}}} \frac{1}{\vert V_N \vert^{\frac{1}{2}}} \prod_{i = 0}^{N - 1} \frac