【BZOJ2818】Gcd(莫比乌斯反演)

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莫比乌斯反演是组合数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。
参考
假设有两个定义在非负整数集上的函数$f(n)$和$F(n)$
有两种表述形式
第一种：

$$F(n) = \sum_{d|n} f(d)$$ 则
$$f(n) = \sum_{d|n}μ(d)F(\frac n d)$$
第二种：
$$F(n)= \sum_{n|d}f(d)$$ 则
$$f(n) = \sum_{n|d}μ(\frac d n)F(d)$$

关于莫比乌斯函数$μ(d)$的定义,如下：
1.若$d = 1$，则$μ(d) = 1$
2.若$d = p_1p_2,...,p_k$,$p_i$均为互异素数，则$μ(d) = (-1)^k$
3.其他情况下$μ(d) = 0$

这里用到第二种表述
我们假设
f(k) 等于gcd(x,y) == k的个数
F(k)等于gcd(x,y) == k的倍数的个数

因为$gcd(x,y) == k$ 等价于$gcd(\frac x k,\frac y k) == 1$
所以我们可以把范围缩小到(1,N/k)
也就是说我们要求的f(k) 变成了f(1)

根据上述第二种表述，令n==1，即
$f(1) = \sum_{d=1}^{\frac N k}μ(d) F(d)$

根据F(d)的假设，有$F(d) = \lfloor {\frac {N/k} d}\rfloor * \lfloor{\frac {M/k} d}\rfloor$共有这么多$gcd(x,y) == d*k$的个数
(N为x的区间，M为y的区间，在这题中$N == M$)

所以$f(1) =\sum_{d=1}^{\frac N k}μ(d) * \lfloor {\frac {N/k} d}\rfloor * \lfloor{\frac {M/k} d}\rfloor$

然后我们枚举每一个k，在这题中是[1,N]的素数
然后求出每一个k对应的$f(1)$，将这些$f(1)$全部相加即可

跑了4s多。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long LL;
const int maxn = 10000000 + 10;
bool check[maxn];
int mu[maxn],prime[maxn];
void Mobius()
{
    cl(check,false);
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for( int i = 2; i < maxn; i++ ){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for( int j = 0; j < tot; j++ ){
            if(i * prime[j] >= maxn)break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    Mobius();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        LL ans = 0;
        for( int i = 0; prime[i] <= n; i++ ){
            int tmp = n / prime[i];
            for( int j = 1; j <= tmp; j++ ){
                ans += (LL)mu[j] * (tmp/j) * (tmp/j);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}