重叠相关的算法

重叠相关的算法

在实际中，常遇到长序列卷积短序列的问题。
一长序列x(n)在和单位抽样响应h(n)进行卷积时，需要利用截短（分块）x(n)的方法，变成和h(n)长度接近。每段分别和h(n）线性卷积，首尾相接时需要进行一些处理，才能得到成和原来长序列卷积h(n)相同的结果。
假设h(n)长度为M,分块的xL(n)长度为N:

重叠相加法

顾名思义，就是需要将重叠部分相加，这里的重叠指的是线性卷积之后的数据前后帧进行重叠。线性卷积后M-1点和下次结果的前M-1重叠，重叠部分相加，这时对分块的输入序列xL(n)不需要重叠。如果希望利用DFT替代卷积来减少计算量，那么需要转成对应的圆周卷积（循环卷积），就涉及到对xL(n)和h(n)扩充到L>=M+N-1点，这样IDFT的结果才能对应上实现线性卷积，这里采用xL(n)进行补零到M+N-1点，h(n)同样补零处理。

重叠保留法

对信号进行截短，面临同样的问题，只不过重叠操作放到了xL(n)扩充后的数据上，这里xL(n)利用旧数据的后M-1点和新数据N点，h(n)正常补零到N+M-1点，利用DFT和IDFT，该圆周卷积结果的前M-1点数据是混叠的，所以舍去，保留了后N点，假设这里的M-1=N,那么就是常见的旧数据和新数据拼成L=2N点，FFT，点乘，IFFT,舍去前M-1=N点，保留后N点的方法。即重叠保留法实现长序列卷积短序列。

加权重叠相加法

不考虑长序列卷积短序列，只考虑x(n)信号变换及恢复（重建）问题。由于变换到频域需要进行FFT变换，为减少频域泄漏需要加窗处理（替换矩形窗），加窗就是加权的意思。最后在恢复最初信号的时候，需要利用窗函数重叠相加等于1的影响，输入信号由于加窗涉及到两个序列点乘，导致信号的窗移等于窗总长度减去重叠部分。
这里重叠的根本原因是基于块数据变换有一个严重缺点，即块效应。这是各个变换块之间不连续性和微小的边界误差导致的。这样在重建信号时将导致引入周期性噪声，可以做低通滤波去除块边界处的“突跳”，但是这样高频信息会丢失，高频决定细节。更一般的做法是采用重叠，这是专门针对块块效应的。