30、区块链可扩展性的信息论方法探索

区块链可扩展性的信息论方法探索

1. 压缩框架下的通信与存储成本

在压缩框架中，我们可以推导通信和存储成本。定理 2 中失效的充要条件表明，小于 ϵ 的计算误差会被忽略，而至少为 val + Lϵ 的误差会被检测到。当近似误差任意小时，超出容差的所有误差都能被检测到。满足定理 2 的多种向量量化器可用于有损增量编码，这里采用格向量量化器（LVQ）。

假设量化器 Q(·) 是使用 Rd 中选定的格定义的 LVQ。有以下定理：
- 定理 3 ：设 (B(\text{quant}) = {x \in R^d : |x| \leq \text{quant}}) 为可能的状态更新集合，且 (X_t \sim \text{Unif}(B(\text{quant})))，则帧内每个状态更新的通信和存储成本为 (O(d \log(\frac{\text{quant}}{\epsilon}))) 比特。这直接源于用 (B(\epsilon)) 球覆盖 (B(\text{quant})) 的覆盖数，其他标准格也会产生类似成本。
- 定理 4 ：对于任何帧 (n)，在检查点 (T_n) 处，帧内的最大状态数 (M_n) 有界为 (M_n \leq \min{\frac{\log(\text{quant} - \epsilon) - \log \delta_n}{\log L}, \overline{M}})，其中 (\delta_n = |X_{T_n + 1} - X_{T_n}|) 是帧中的第一个更新。这为每个帧的大小提供了一个简单的充分条件，第一个迭代值小意味着帧内可以容纳更多迭代。这个下界可用于在方案设计前确定典型帧大